lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 85
diagonal e zeros fora dela:
⎡ ⎤
α 0 ··· 0
0 α ··· 0
a = ⎢ ⎥
⎣ . . . . ⎦
0 0 ··· α
O operador A = αI é o que se chama uma homotetia de razão α.
Estes são os únicos operadores cujas matrizes independem da base
dada. (Vide Exercício 8.35.)
Exemplo 8.2. Seja P: E → E a projeção sobre o subespaço F 1 , paralelamente
ao subespaço F 2 . Sejam ainda V 1 ⊂ F 1 e V 2 ⊂ F 2 bases
quaisquer desses subespaços. Então V = V 1 ∪ V 2 é uma base de E,
relativamente à qual a matriz p de P tem os k primeiros termos da
diagonal iguais a 1 (k = dim F 1 ) e todos os demais termos (sobre a
diagonal ou fora dela) iguais a zero. Analogamente, se S: E → E é a
reflexão em torno de F 1 paralelamente a F 2 , sua matriz s na base V
tem os primeirosktermos da diagonal iguais a 1, os restantes iguais
a −1 e todos os termos fora da diagonal iguais a zero.
A fixação das bases V ⊂ E e W ⊂ F determina portanto uma
transformação
ϕ: L(E;F) → M(m×n),
que faz corresponder a cada A ∈ L(E;F) sua matriz a nas bases V,
W. A transformação ϕ é linear, ou seja, se a, b ∈ M(m × n) são
as matrizes de A,B ∈ L(E;F) respectivamente e α, β são números
reais, então a matriz de A+B é a+b, a matriz de αA é αa e, mais
geralmente, a matriz de αA + βB é αa + βb. Mais ainda, ϕ é um
isomorfismo: a bijetividade de ϕ é assegurada pelo Teorema 4.1.
Convém observar que, no caso de E = R n e F = R m , existe um
par natural de bases (canônicas) nestes espaços, de modo que o isomorfismo
ϕ: L(R n ;R m ) → M(m×n) pode ser definido sem depender
de escolhas arbitrárias. A cada transformação linear A: R n → R m
corresponde a matriz ϕ(A) = [a ij ] cujo j-ésimo vetor-coluna é A·e j =
(a 1j ,...,a mj ).
Em particular, a cada funcional linear f: R n → R corresponde,
de modo natural, uma matriz [a 1 ,...,a n ] ∈ M(1 × n) ou, o que é
o mesmo, um vetor (a 1 ,...,a n ). As correspondências entre a matriz
[a 1 ,...,a n ] e o funcional f tal que f(e i ) = a i , e entre f e o vetor