lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 14 Operadores Ortogonais 185
(c) Os vetores u 1 = f(e 1 ),...,u n = f(e n ) formam uma base ortonormal
em R n .
(d) Para todo v = x 1 e 1 +···+x n e n ∈ R n , tem-se 〈f(v),u i 〉 = x i , logo
f(v) = x 1 u 1 +···+x n u n .
(e) f: R n → R n é um operador linear, logo é ortogonal.
Uma função g: R n → R n chama-se uma isometria quando |g(u)−
g(v)| = |u−v| para quaisquer u,v ∈ R n . Conclua que toda isometria
tem a formag(v) = A·v+b, ondeA: R n → R n é um operador (linear)
ortogonal e b ∈ R n é um vetor constante (independente de v).
14.5. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, com produto
interno. Se A o : F → E é uma transformação linear ortogonal definida
num subespaço vetorial F ⊂ E, prove que existe um operador
ortogonal A: E → E tal que A·v = A o ·v para todo v ∈ F.
14.6. Sejam A: F → G e B: F → H transformações lineares invertíveis.
(G eHsão espaços de dimensão finita, munidos de produto
interno.) Prove que existe uma transformação ortogonal (invertível)
C: G → H com B = CA se, e somente se, |Av| = |Bv| para todo v ∈ F.
14.7. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, com produto
interno. Dados dois operadores A,B: E → E tais que |Av| = |Bv|
para todo v ∈ E, prove que existe C: E → E ortogonal, com B =
CA. (Sugestão: observe que N(A) = N(B). Considere F = N(A) ⊥
e sejam A o : F → Im(A), B o : F → Im(B) os isomorfismos obtidos
por restrição de A e B respectivamente. Use o exercício anterior
para achar C o : Im(A) → Im(B), com B o = C o A o e obtenha C pelo
Exercício 14.5.)
14.8. Dada uma base ortonormal {u 1 ,u 2 ,u 3 } ⊂ R 3 , sejam n,p ∈ N
tais que p = n 2 + n + 1. Defina um operador A: R 3 → R 3 pondo
Au 1 = v 1 , Au 2 = v 2 , Au 3 = v 3 , onde
v 1 = 1 p [nu 1 +(n+1)u 2 +n(n+1)u 3 ],
v 2 = 1 p [n(n+1)u 1 +nu 2 −(n+1)u 3 ],
v 3 = 1 p [(n+1)u 1 −n(n+1)u 2 +nu 3 ].