lgebra Linear, Elon Lages Lima

det a = ∑ i
det a = ∑ i
Seção 19 Determinantes 259
Nestas condições, det a = det b·det e·det g.
Dada a = [a ij ] ∈ M(n × n), indicaremos com a notação M ij
a matriz de ordem (n − 1) × (n − 1) obtida mediante a omissão
da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz a. O ij-ésimo menor
de a é, por definição, o determinante det M ij o qual se chama
também o menor relativo ao elemento a ij .
Resulta imediatamente do Teorema 19.8 que se a = [e 1 ,v 2 ,...,
v n ] é uma matriz cuja primeira coluna é (1,0,...,0) então det a =
det M 11 . Segue-se que se a = [e i ,v 2 ,...,v n ] então
det a = (−1) i−1 det M i1 = (−1) i+1 det M i1
pois este caso se reduz ao anterior mediante i − 1 transposições de
linhas. Portanto, dada a = [a ij ] = [v 1 ,...,v n ], com
v 1 = ∑ i
a i1 e i ,
tem-se
a i1 det[e i ,v 2 ,...,v n ],
logo
(−1) i+1 a i1 det M i1 .
A fórmula acima, chamada o desenvolvimento de det a segundo
a primeira coluna, reduz o cálculo do determinante de sua matriz
n×n ao de n determinantes de matrizes (n−1)×(n−1).
Mais geralmente, podemos fixar um inteiro arbitrário j, com
1 ≤ j ≤ n, e efetuar o desenvolvimento do determinante de a segundo
a j-ésima coluna. Para isso, observamos que se
a = [v 1 ,...,v j−1 ,e i ,v j+1 ,...,v n ]
é uma matriz cuja j-ésima coluna é e i então det a = (−1) i+j det M ij ,
pois a pode ser transformada numa matriz cuja primeira coluna ée 1
mediante i−1 transposições de linha e j−1 transposições de coluna,
o que provoca i + j − 2 mudanças de sinal em seu determinante, e
isto é o mesmo que multiplicá-lo por (−1) i+j .
Assim, dada a = [v 1 ,...,v n ], com
v j = ∑ i
a ij e i ,