lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 20 O Polinômio Característico 273
p A (λ) = λ 2 − 2λ + 1 com uma raiz real dupla λ = 1, logo A é triangularizável.
Evidentemente, A não é diagonalizável pois se o fosse,
como seu único autovalor é 1, seria igual ao operador identidade. Se
quisermos achar uma base {u,v} ⊂ R 2 na qual a matriz de A seja
triangular superior, basta procurar um autovetor u = (x,y), com
Au = u, ou seja, basta achar uma solução não-trivial u = (x,y) do
sistema 7x−12y = x, 3x−5y = y. Uma dessas soluções é u = (2,1).
Tomando, por exemplo, v = (0,1), a matriz de A na base {u,v} é
[ 1 −6
0 1
]
. Com efeito, Au = u e Av = −6u+v.
Exemplo 20.4. Seja A: R 3 → R 3 a rotação de ângulo θ em torno do
eixo z. Temos, para todo (x,y,z) ∈ R 3 :
A(x,y,z) = (x cos θ−y sen θ,xsen θ+y cos θ,z).
Para evitar casos especiais óbvios, suponhamos 0 < θ < 180 ◦ . Chamando
de a a matriz deAna base canônica deR 3 , a matriz deA−λI
é
⎡
cos θ−λ − sen θ
⎤
0
a−λI 3 = ⎣ sen θ cos θ−λ 0 ⎦
0 0 1−λ
logo det(A−λI) = (1−λ)(λ 2 −2λ cos θ+1) = p A (λ).
Portanto o polinômio característico p A tem uma raiz real 1 e duas
raízes complexas cos θ±i sen θ. Assim, não existe em R 3 uma base
na qual a matriz de A seja triangular.
Examinando a demonstração do Teorema 20.1 vemos que, se o
espaço E vem provido de um produto interno, ela fornece uma base
ortonormal em relação à qual a matriz do operador A: E → E (cujo
polinômio característico tem apenas raízes reais) é uma matriz triangular.
Isto fornece a seguinte interpretação matricial para aquele
teorema: se o polinômio característico da matriz a ∈ M(n×n) é um
produto de fatores reais do primeiro grau então existe uma matriz
ortogonal q ∈ M(n × n) tal que t = q T aq (= q −1 aq) é uma matriz
triangular.
Dados um operador linear A: E → E e um polinômio
p(λ) = a o +a 1 λ+···+a m λ m ,
o símbolo p(A) representará o operador
p(A) = a o I+a 1 A+···+a m A m ,