lgebra Linear, Elon Lages Lima

304 Equações a Diferenças Finitas Seção 22
Das igualdades (*) resulta que para k = 0,1,2,..., tem-se
{
A k u = λ k u
A k w = kλ k−1 u+λ k w,
logo
m k =
[ λ
k
kλ k−1 ]
0 λ k .
Exemplo 22.6. O operador A: R 2 → R 2 , dado por A(x,y) = (3x −
y,x+y), tem o polinômio característico
p(λ) = λ 2 −4λ+4,
o qual admite a raiz dupla λ=2, sendo u=(1,1) um autovetor de A.
Portanto {u,e 2 } ⊂ R 2 é uma base, com Au = 2u e Ae 2 = (−1,1) =
−1·u+2·e 2 . Tomandow = −e 2 = (0,−1), obtemos a base{u,w} ⊂ R 2 ,
com Au = 2u e Aw = u+2w, logo a matriz de A na base {u,w} é
[ ] 2 1
m = .
0 2
Pelo que foi dito acima, para obter a solução v k = (x k ,y k ) = A k .v o do
sistema
x k+1 = 3x k −y k ,
y k+1 = x k +y k ,
com vetor inicial v o = (3,5), primeiro exprimimos v o como combinação
linear deuew, obtendov o = 3u−2w. Daí resulta que, para todo
k = 0,1,2,..., tem-se
v k = 3.A k u−2.A k w.
Como vimos acima, A k u = 2 k u e A k w = k2 k−1 u+2 k w. Logo
v k = 2 k [(3−k)u−2w] = 2 k (3−k,5−k).
Em termos das coordenadas, isto significa que
x k = 2 k (3−k) e
y k = 2 k (5−k).