lgebra Linear, Elon Lages Lima

220 Tópicos Matriciais Seção 17
Isto nos fornece a decomposição lu:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
6 6 5 1 0 0
⎣6 9 7⎦ = ⎣1 1 0⎦
5 7 6
5
6
2
3
1
⎤
⎡
6 6 5
⎣0 3 2
0 0 1/2
Para obter a decomposição de Cholesky, tomamos a matriz diagonal
⎡√ ⎤ 6
√ 0 0
d = ⎣ 0 3 0 ⎦
√
0 0 2/2
⎦ .
e calculamos
⎡ ⎤
1 0 0
t T = ld = ⎣1 1 0⎦
5
6
2
3
1
⎡√ ⎤
6 0 0
⎢ √ ⎥
⎣ 0 3 0 ⎦ =
0 0
√
2
2
⎡√ ⎤
6 0 0
⎢
√ √
⎣ 6 3 0
⎥
⎦ .
5 √
6
2 √3
√
2
2
Então a decomposição de Cholesky da matriz dada é
⎡ ⎤ ⎡ √ ⎤ ⎡√ √ √ ⎤
6 6 5
√ 6
√ 0 0 6
√ 6 5/
√ 6
⎣6 9 7⎦ = ⎣ 6 3 0
5 7 6 5/ √ 6 2/ √ 3 √ ⎦ ⎣ 0 3 2/ 3 ⎦
√
.
2/2 0 0 2/2
Exercícios
17.1. Prove que os vetores v 1 ,...,v k ∈ E geram um subespaço vetorial
de dimensão r se, e somente se, a matriz de Gram g(v 1 ,...,v k )
tem posto r.
17.2. Se dimE ≤ dimF, prove que existe uma transformação linear
ortogonal A: E → F tal que Av 1 = w 1 ,...,Av k = w k se, e somente se,
as matrizes de Gram g(v 1 ,...,v k ) e g(w 1 ,...,w k ) são iguais.
17.3. Sejam a ∈ M(n × n) uma matriz positiva e b ∈ M(n ×
m) uma matriz de posto n. Ache vetores v 1 ,...,v m ∈ R n tais que
g(v 1 ,...,v m ) = b T ab.
17.4. Prove que a T a é a matriz de Gram dos vetores-coluna de a.