lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 11 A Adjunta 139
Teorema 11.4. Dada a transformação linear A: E→F, entre espaços
vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno, tem-se
N(A ∗ ) = Im(A) ⊥ ,
Im(A ∗ ) = N(A) ⊥ ,
N(A) = Im(A ∗ ) ⊥ e
Im(A) = N(A ∗ ) ⊥ .
Demonstração: Basta provar a primeira dessas igualdades; as demais
se seguem dela usando A ∗∗ = A e F ⊥⊥ = F. Ora,
v ∈ N(A ∗ ) ⇔ A ∗ v = 0 ⇔ 〈u,A ∗ v〉 = 0 q.q.s. u ∈ E ⇔
⇔ 〈Au,v〉 = 0 q.q.s. u ∈ E ⇔ v ∈ Im(A) ⊥ .
Corolário 1. A fim de que o sistema de m equações lineares com n
incógnitas
n∑
a ij x j = b i (i = 1,...,m)
j=1
possua solução é necessário e suficiente que o vetorb = (b 1 ,...,b m ) ∈
R m seja perpendicular a toda solução y = (y 1 ,...,y m ) do sistema
homogêneo transposto
m∑
a ji y j = 0 (i = 1,...,n).
j=1
Com efeito, pela última das igualdades do Teorema 11.4, o sistema
Ax = b tem solução se, e somente se, b é ortogonal ao núcleo
de A ∗ , isto é, a todas as soluções y ∈ R m do sistema homogêneo
A ∗ y = 0.
O ponto do Corolário 1 é que ele permite concluir a existência de
soluções sem que seja necessário exibir uma delas.
Corolário 2. O posto de A ∗ é igual ao posto de A.