lgebra Linear, Elon Lages Lima

332 A Forma Canônica de Jordan Apêndice
(3) m(x+p)+ny = 0, r(z+t)+ns = 0,
(4) q(x+t)+ry+ms = 0.
Como a, c, e, g são diferentes de zero, podemos escolher x, z, p,
t tais que as igualdades (1) sejam satisfeitas e, além disso, se tenha
x+z ≠ 0, z+p ≠ 0, p+t ≠ 0, x+p ≠ 0, z+t ≠ 0 e x+t ≠ 0. Isto nos
permite determinar y, n, s de modo a satisfazer as igualdades (2),
em seguida obter m, r de modo que as igualdades (3) sejam válidas
e, finalmente, usar (4) para determinar q.
Observação: Uma matriz não-invertível pode não possuir raiz quadrada.
Este é o caso, por exemplo, da matriz
[ ] 0 0
a = .
1 0
É fácil ver que [ não ] existem números complexos x, y, z, t tais que a
x y
matriz x = cumpra x
z t
2 = a.
A3. A Decomposição A = N+D
Nesta seção, mostraremos como visualizar a forma canônica de Jordan
de modo intrínseco, exprimindo-a sob o ponto-de-vista de operadores,
em vez de matrizes.
A forma canônica de Jordan, estabelecida na seção anterior, mostra
que, dado um operador A: E → E num espaço vetorial complexo
de dimensão finita, existe uma base V ⊂ E na qual a matriz a de A é
formada por blocos de Jordan ao longo da diagonal, sendo os blocos
que correspondem ao mesmo auto-valor de A agrupados consecutivamente.
Segue-se que a = n + d, onde d é uma matriz diagonal,
os elementos dessa diagonal sendo os auto-valores de A repetidos
de acordo com sua multiplicidade, e n é uma matriz triangular inferior
nilpotente (logo os elementos de sua diagonal são todos iguais
a zero) na qual os elementos imediatamente abaixo da diagonal são
iguais a 1 ou a 0 e os demais elementos são nulos.
Resulta imediatamente daí a decomposição A = N + D, onde
D: E → E é o operador cuja matriz na base V é d e N: E → E é o
operador nilpotente do qual n é a matriz na mesma base V.