lgebra Linear, Elon Lages Lima

230 Formas Quadráticas Seção 18
Em termos das coordenadas dos vetoresu = Σx i u i ev = Σy j u j relativamente
à base U do Teorema 18.3 a forma bilinear b se exprime
como
b(u,v) = Σλ i x i y i .
Em particular, a forma quadrática ϕ: E → R, ϕ(u) = b(u,u),
para v = Σy i u i (expressão relativa à base U) é dada por uma combinação
linear de quadrados:
ϕ(v) = Σλ i y 2 i = λ 1y 2 1 +···+λ my 2 m.
É costume numerar os autovalores λ i em ordem crescente: λ 1 ≤
λ 2 ≤ ··· ≤ λ m .
A forma quadrática ϕ: E → R diz-se não-negativa quando
ϕ(v) ≥ 0 para todo v ∈ E, positiva quando ϕ(v) > 0 para todo v ≠ 0
emE, não-positiva quandoϕ(v) ≤ 0 para todov ∈ E, negativa quando
ϕ(v) < 0 para todo v ≠ 0 em E e indefinida quando existem u,v ∈ E
tais que ϕ(u) > 0 e ϕ(v) < 0.
A forma quadrática ϕ: E → R é não-negativa, positiva, nãopositiva,
negativa ou indefinida, respectivamente, conforme o operador
auto-adjunto B: E → E, tal que ϕ(v) = 〈v,Bv〉, tenha uma
dessas propriedades, ou seja, conforme os autovalores λ 1 ,...,λ m sejam
todos ≥ 0, todos > 0, todos ≤ 0, todos < 0 ou λ 1 < 0 < λ m
respectivamente.
Seλ 1 ≤ ··· ≤ λ m são os autovalores da forma quadráticaϕentão,
para todo vetor unitário u ∈ E tem-se λ 1 ≤ ϕ(u) ≤ λ m . Com efeito,
relativamente à baseU do Teorema 18.3, seu = Σx i u i entãoΣx 2 i = 1,
portanto:
λ 1 = ∑ i
λ 1 x 2 i ≤ ∑ i
λ i x 2 i = ϕ(u) ≤ ∑ i
λ m x 2 i = λ m.
Além disso, ϕ(u 1 ) = λ 1 e ϕ(u m ) = λ m . Portanto, o menor autovalor
λ 1 e o maior autovalor λ m são também o valor mínimo e o
valor máximo assumidos pela forma quadrática ϕ entre os vetores
unitários de E.
Em Análise, quando se estudam os pontos críticos de uma função
diferenciável, um papel crucial é desempenhado por uma forma quadrática,
chamada forma Hessiana. Os pontos críticos são classificados
de acordo com o número de direções independentes ao longo das