lgebra Linear, Elon Lages Lima

42 Transformações Lineares Seção 4
todo v ∈ E. Com efeito, seja u ∈ E um vetor não-nulo. Então {u} ⊂ E
é uma base: todo vetor em E é múltiplo de u. Portanto existe α ∈ R
tal que Au = αu. Para qualquer outro vetor v ∈ E, temos v = λu
portanto Av = A(λu) = λAu = λαu = α(λu) = αv.
Exemplo 4.2. (Rotação de ângulo θ em torno da origem em
R 2 .) Trata-se do operador R: R 2 → R 2 , que leva cada vetor v no vetor
Rv que dele resulta pela rotação de ângulo θ em torno da origem. A
Fig. 4.1 deixa claro queR(u+v) = R·u+R·v. É bem mais claro ainda
que R(αv) = α·Rv para v ∈ R 2 e α ∈ R, logo R é uma transformação
linear. Para um vetor v = (x,y) ∈ R 2 arbitrário, seja R·v = (x ′ ,y ′ ).
Sabemos que x ′ = ax+by e y ′ = cx+dy e
R
( v )
u
+
Ru
v
+
u v
Rv
O
u
Figura 4.1 – Rotação de vetores.
queremos determinar a matriz
[ ] a b
,
c d
onde Re 1 = (a,c) e Re 2 = (b,d), com e 1 = (1,0) e e 2 = (0,1).
Ora, pelas definições de seno e cosseno, o vetor unitário Re 1 ,
que forma com e 1 um ângulo θ, tem coordenadas cosθ e senθ, ou
seja, Re 1 = (cosθ, senθ). Além disso, como e 2 forma com e 1 um
ângulo reto, Re 2 também forma com Re 1 um ângulo reto. Logo Re 2 =
(− senθ, cosθ). (Veja Fig. 4.2.)