lgebra Linear, Elon Lages Lima

246 Determinantes Seção 19
Uma forma r-linear no espaço vetorial E é uma função
f: E×···×E → R,
definida no produto cartesiano E×···×E = E r , que é linear em cada
uma das suas variáveis, isto é:
f(v 1 ,...,v i +v ′ i ,...,v r) = f(v 1 ,...,v i ,...,v r )+f(v 1 ,...,v ′ i ,...,v r),
f(v 1 ,...,αv i ,...,v r ) = αf(v 1 ,...,v i ,...,v r ),
para v 1 ,...,v i ,v ′ i ...,v r ∈ E e α ∈ R quaisquer.
Se f é r-linear e um dos vetores v 1 ,...,v r é igual a zero então
f(v 1 ,...,v r ) = 0, pois
f(...,0,...) = f(...,0.0,...) = 0.f(...,0,...) = 0.
Teorema 19.1. Seja U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base. Para cada uma
das n r listas ordenadas J = (j 1 ,...,j r ) de inteiros compreendidos entre
1 en, fixemos um número reala J = a j1 j 2 ...j r
. Existe uma, e somente
uma, formar-linearf: E×···×E → R tal quef(u j1 ,...,u jr ) = a J para
todo J = (j 1 ,...,j r ).
Noutras palavras, uma forma r-linear f: E r → R fica inteiramente
determinada quando se conhecem seus n r valores
f(u j1 ,..., u jr ) nas listas de elementos básicos, e esses valores podem
ser escolhidos arbitrariamente.
Demonstração: Para facilitar a escrita, tomemos r = 3. O caso
geral se trata igualmente. Suponhamos dado, para cada lista (i,j,k)
de números naturais compreendidos entre 1 e n, um número real
a ijk . Definamos f: E×E×E → R pondo
se
f(u,v,w) =
n∑
i,j,k=1
a ijk x i y j z k ,
u = ∑ x i u i , v = ∑ y j u j e w = ∑ z k u k .
Verifica-se facilmente que f, assim definida, é trilinear e que
f(u i ,u j ,u k ) = a ijk . Além disso, se g: E × E × E → R é trilinear e
g(u i ,u j ,u k ) = a ijk para i,j,k = 1,...,n quaisquer, então para
u = ∑ x i u i , v = ∑ y j u j e w = ∑ z k u k .