lgebra Linear, Elon Lages Lima

158 Operadores Auto-Adjuntos Seção 13
ambas simétricas. Quanto ao Exemplo 13.2, se tomarmos em E uma
base ortonormal cujos primeiros m elementos formem uma base de
F e os últimos uma base de F ⊥ , a matriz da projeção P nesta base
terá os m primeiros termos da diagonal iguais a 1 e todos os demais
elementos iguais a zero. Seu formato será
⎡
1
⎢
⎣
1
. ..
1
0
⎤
,
. ..
⎥
⎦
0
onde os termos fora da diagonal, não indicados acima, são todos zeros.
Essas matrizes são simétricas, refletindo o fato de que representam
operadores auto-adjuntos em bases ortonormais. Já o operador
A no Exemplo [ 12.6]
não é auto-adjunto pois na base canônica de R 2
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sua matriz é .
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Teorema 13.2 Seja A: E → E um operador auto-adjunto. Se o subespaço
F ⊂ E é invariante por A, seu complemento ortogonal F ⊥
também é.
O Teorema 13.2 decorre imediatamente do
Teorema 13.3 Se o subespaço F ⊂ E é invariante pelo operador linear
A: E → E então seu complemento ortogonal F ⊥ é invariante pelo
operador adjunto A ∗ : E → E.
Demonstração: [u ∈ F,v ∈ F ⊥ ] ⇒ Au ∈ F ⇒ 〈u,A ∗ v〉 = 〈Au,v〉 =
0 ⇒ A ∗ v ∈ F ⊥ , logo F ⊥ é invariante por A ∗ .
Exemplo 13.4. No cisalhamento A: R 2 → R 2 , onde A(x,y) =
(x + αy,y), com α ≠ 0, o eixo x, das abcissas, é invariante mas
seu complemento ortogonal, o eixo y, das ordenadas, não é pois
Ae 2 = (α,1) não é vertical.
No caso de um operador auto-adjunto, o Teorema 12.2 assume a
forma mais precisa seguinte.