lgebra Linear, Elon Lages Lima

160 Operadores Auto-Adjuntos Seção 13
Teorema 13.5. Seja A: E → E um operador auto-adjunto num
espaço vetorial de dimensão 2, munido de produto interno. Existe
uma base ortonormal {u 1 ,u 2 } ⊂ E formada por autovetores de A.
Demonstração: Seja {v,w} ⊂ E uma base ortonormal arbitrária.
Em virtude do Teorema 13.1, temos Av = av + bw, Aw = bv +
cw. Como vimos antes no Exemplo 12.4, os autovalores de A são
as raízes reais do polinômio característico p(λ) = λ 2 −(a+c)λ+ac−
b 2 . O discriminante deste trinômio é ∆ = (a + c) 2 − 4(ac − b 2 ) =
(a − c) 2 + 4b 2 ≥ 0. Se ∆ = 0 então b = 0, a = c e A = aI, logo todo
vetor não-nulo em E é um autovetor. Se ∆ > 0 então o trinômio p(λ)
possui 2 raízes reais distintas λ 1 ,λ 2 . Isto, como sabemos, quer dizer
que os operadores A−λ 1 I e A−λ 2 I são ambos não invertíveis, logo
existem vetores não-nulos (que podemos supor unitários) u 1 ,u 2 ∈ E
tais que (A − λ 1 I)u 1 = 0 e (A − λ 2 I)u 2 = 0, ou seja, Au 1 = λ 1 u 1 e
Au 2 = λ 2 u 2 . Pelo Teorema 13.4, {u 1 ,u 2 } ⊂ E é uma base ortonormal
de autovetores de A.
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Corolário. Todo operador auto-adjunto A: E → E, num espaço vetorial
de dimensão finita com produto interno, possui um autovetor.
Com efeito, pelo Teorema 12.1 existe um subespaço F ⊂ E, de
dimensão 1 ou 2, invariante por A. Se dimF = 1 todo vetor não-nulo
v ∈ F é um autovetor de A. Se dimF = 2 então, aplicando o Teorema
13.5 à restrição A: F → F de A ao subespaço invariante F, obtemos
um autovetor v ∈ F.
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Teorema 13.6. (Teorema Espectral.) Para todo operador autoadjunto
A: E → E, num espaço vetorial de dimensão finita munido
de produto interno, existe uma base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E formada
por autovetores de A.
Demonstração: Usaremos indução na dimensão de E. O teorema é
evidente se dimE = 1. Supondo-o verdadeiro em dimensão n − 1,
seja dim E = n. Pelo Corolário do Teorema 13.5, existe um autovetor
unitário u n , portanto um subespaço F ⊂ E, de dimensão
1, invariante por A. Pelo Teorema 13.2, o complemento ortogonal
F ⊥ também é invariante por A. Como dim F ⊥ = n − 1, a hipótese
de indução assegura a existência de uma base ortonormal
{u 1 ,...,u n−1 } ⊂ F ⊥ formada por autovetores da restrição A: F ⊥ →
F ⊥ . Segue-se que {u 1 ,...,u n−1 ,u n } ⊂ E é uma base ortonormal formada
por autovetores de A.