lgebra Linear, Elon Lages Lima

122 Produto Interno Seção 10
Demonstração: Sejam v 1 ,...,v n ∈ X. Temos 〈v i ,v j 〉 = 0 se i ≠ j. Se
α 1 v 1 + ··· + α n v n = 0 é uma combinação linear nula desses vetores
então, para cadai = 1,2,...,n, tomamos o produto interno de ambos
os membros desta igualdade por v i e temos
α 1 〈v 1 ,v i 〉+···+α n 〈v n ,v i 〉 = 0,
logo α i 〈v i ,v i 〉 = α i |v i | 2 = 0 pois todos os produtos internos 〈v j ,v i 〉,
com j ≠ i, são nulos em virtude da ortogonalidade de X. Além disso,
como os vetores pertencentes ao conjunto X são todos não-nulos, resulta
de α i |v i | 2 = 0 que α i = 0. Assim, os coeficientes da combinação
linear Σα i v i = 0 são todos iguais a zero e os vetores do conjunto X
são, portanto, linearmente independentes.
Exemplo 10.4. A base canônica{e 1 ,...,e n } ⊂ R n é ortonormal: temse
〈e i ,e j 〉 = δ ij , onde δ ij = 0 se i ≠ j e δ ij = 1 se i = j. No plano R 2 os
vetores u = (1,1) e v = (−1,1) são ortogonais. Pondo
u ′ =
(√ √ )
2 2
2 , 2
e v ′ =
(
−
√ √ )
2 2
2 , ,
2
o conjunto {u ′ ,v ′ } ⊂ R 2 é uma base ortonormal.
Quando u e v são ortogonais, a igualdade |u + v| 2 = |u| 2 + |v| 2 +
2〈u,v〉 se torna |u + v| 2 = |u| 2 + |v| 2 . Esta é a versão do Teorema de
Pitágoras para um espaço vetorial com produto interno.
Num espaço vetorial E com produto interno, seja u um vetor
unitário. Dado qualquer v ∈ E, o vetor 〈u,v〉·u chama-se a projeção
ortogonal de v sobre o eixo que contém u. A justificativa para esta
denominação está no fato de que, escrevendo w = v − 〈u,v〉u, temse
v = 〈u,v〉u + w, onde w é perpendicular a u. Com efeito, tomando
o produto interno de u por ambos os membros da igualdade
w = v−〈u,v〉u tem-se
〈u,w〉 = 〈u,v〉−〈u,v〉〈u,u〉 = 〈u,v〉−〈u,v〉 = 0,
pois 〈u,u〉 = 1. (Fig. 10.3)