lgebra Linear, Elon Lages Lima

60 Núcleo e Imagem Seção 6
Demonstração: Se A admite uma inversa à direita B: F → E então,
para todo w ∈ F tem-se A(Bw) = w, logo w = A · v, onde v = Bw,
e A é sobrejetiva. (Aqui não se usou a linearidade de A, e muito
menos a finitude das dimensões de E e F.) Suponhamos, em seguida,
que A seja sobrejetiva. A fim de definir uma transformação
linear B: F → E com A(Bw) = w para todo w ∈ F, tomamos
uma base B = {w 1 ,...,w m } ⊂ F. Como A é sobrejetiva, podemos
escolher vetores v 1 ,...,v m ∈ E tais que Av 1 = w 1 ,...,Av m = w m .
Pelo Teorema 4.1, existe uma transformação linear B: F → E tal que
Bw 1 = v 1 ,...,Bw m = v m . Afirmamos que, para todo w ∈ F, temse
A(Bw) = w. Com efeito, sendo B uma base, podemos escrever
w = β 1 w 1 +···+β m w m , portanto
A(Bw) = A(β 1 Bw 1 +···+β m Bw m )
= A(β 1 v 1 +···+β m v m )
= β 1 Av 1 +···+β m Av m
= β 1 w 1 +···+β m w m = w. □
Exemplo 6.3. Uma transformação linear sobrejetiva A: E → F
pode admitir mais de uma inversa à direita B: F → E. Um exemplo
simples é dado pela transformação linear A: R 3 → R 2 , definida
por A(x,y,z) = (x,y). Fixados arbitrariamente a,b ∈ R, a
transformação linear B: R 2 → R 3 , definida por B(x,y) = (x,y,ax +
by), é uma inversa à direita para A. Variando os números a e b,
obtemos infinitas possibilidades para B.
Exemplo 6.4. Uma inversa à direita para a derivação D: P n+1 →
P n é a transformação linear J: P n → P n+1 , que a cada polinômio
p(x) = a o +a 1 x+···+a n x n de grau≤ n faz corresponder o polinômio
Jp(x) = a o x+ a 1
2 x2 +···+ a n
n+1 xn+1 .
O núcleo da transformação linear A: E → F é o conjunto dos vetores
v ∈ E tais que Av = 0. Usaremos a notação N(A) para representar
o núcleo de A. É fácil ver que N(A) é um subespaço vetorial
de E.
Uma transformação linear A: E → F chama-se injetiva quando
v ≠ v ′ emE ⇒ Av ≠ Av ′ emF. Equivalentemente: Av = Av ′ ⇒ v = v ′ .
Esta noção tem sentido para qualquer função A: E → F, seja ela