lgebra Linear, Elon Lages Lima

94 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
Fixado o vetor u = (a,b,c), determine a matriz, relativamente à
base canônica, do operador A: R 3 → R 3 , definido por A · v = v ×
u. Descreva geometricamente o núcleo desse operador e obtenha a
equação da sua imagem.
8.3. Determine a matriz do operador de derivação D: P n → P n relativamente
à base {1,t,t 2 ,...,t n }.
8.4. Considere os subespaços vetoriais F e G do espaço C ∞ (R), cujas
bases são, respectivamente, os conjuntos {cos x, sen x} e
{e x cos x,e x sen x,e 2x cos x,e 2x sen x,e 3x cos x,e 3x sen x}.
Determine a matriz do operador de derivação em cada um desses
subespaços.
8.5. Seja A: E → F uma transformação linear de posto r entre
espaços vetoriais de dimensão finita. Prove que existem bases U =
{u 1 ,...,u n } ⊂ E e V = {v 1 ,...,v m } ⊂ F, relativamente às quais a
matriz a = [a ij ] de A tem a 11 = ··· = a rr = 1 e os demais a ij = 0.
8.6. Ache o valor de x para o qual operador P: R 3 → R 3 , cuja matriz
na base canônica é ⎡ ⎤
seja uma projeção.
1
2
− 1 2
1
2
⎣−1 0 1⎦
− 1 2
− 1 2
x
8.7. Qual é a matriz, na base canônica, do operador A: R 2 → R 2 tal
que A(2,3) = (2,3) e A(−3,2) = 0 ?
[ ] 1 a
8.8. Calcule a n-ésima potência da matriz .
0 1
8.9. Seja E = F 1 ⊕ F 2 . Dado o operador linear A: E → E, defina
transformações lineares A 11 : F 1 → F 1 , A 21 : F 1 → F 2 , A 12 : F 2 → F 1 e
A 22 : F 2 → F 2 tais que, para todov = v 1 +v 2 ∈ E, com v 1 ∈ F 1 e v 2 ∈ F 2 ,
seja
Av = (A 11 +A 21 )v 1 +(A 12 +A 22 )v 2 .
Diz-se então que
[ ]
A11 A 12
A 21 A 22