lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 251
Acima, os asteriscos estão em lugar de n−2 vetores que permanecem
fixos durante a argumentação. A igualdade (1) usa o fato de
que f(∗u i ∗u j ∗) é uma função (n−2)-linear desses vetores, que satisfaz
a condição f(∗u i ∗u j ∗) = −f(∗u j ∗u i ∗) quando esses n−2 vetores
pertencem à base U logo, pelo Teorema 19.1, esta igualdade vale em
geral. Segue-se quef(∗u i ∗u i ∗) = 0. Na igualdade (2) foram trocados
os nomes dos índices mudos i, j. Finalmente, a igualdade (3) usa
apenas que x i x j = x j x i .
Corolário 1. Se dim E = n então dim A n (E) = 1.
Com efeito, fixada a base U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E, existe f ∈ A n (E)
tal quef(u 1 ,...,u n )=1. Então, para todag∈A n (E), seg(u 1 ,...,u n ) = a
tem-se também (af)(u 1 ,...,u n ) = a, logo g = af. Portanto, {f} é uma
base de A n (E).
Corolário 2. Se {u 1 ,...,u n } ⊂ E é uma base e 0 ≠ f ∈ A n (E) então
f(u 1 ,...,u n ) ≠ 0.
Com efeito, pelo Teorema 19.4 existe f o ∈ A n (E) tal que
f o (u 1 ,...,u n ) = 1. Pelo Corolário 1, f = af o , com a ≠ 0. Logo
f(u 1 ,...,u n ) = af o (u 1 ,...,u n ) = a ≠ 0.
Toda transformação linear A: E → F induz uma transformação
linear A # : A n (F) → A n (E), a qual faz corresponder a cada forma n-
linear alternada f: F×···×F → R a nova forma A # f: E×···×E → R,
definida por
(A # f)(v 1 ,...,v n ) = f(Av 1 ,...,Av n ),
onde v 1 ,...,v n ∈ E. É fácil verificar que realmente A# f ∈ A n (E), que
(BA) # = A # B # e I # = I. Se A for um isomorfismo, A # também será,
com (A # ) −1 = (A −1 ) # .
Seja agora A: E → E um operador linear.
Como dim A n (E) = 1, o operador linear A # : A n (E) → A n (E) consiste
na multiplicação por um número real, que chamaremos o determinante
do operador A: E → E e indicaremos com a notação det A.
Assim, por definição, A # f = det A·f, isto é,
f(Av 1 ,...,Av n ) = det A·f(v 1 ,...,v n )
para toda f: E × ··· × E → R n-linear alternada e quaisquer v 1 ,...,
v n ∈ E.