lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 3 Bases 37
que, para n ≥ 3, {s 1 ,...,s n−1 ,t 1 ,...,t n ,τ,σ} são funções linearmente
independentes.
3.34. Num espaço vetorial E, diz-se que o vetor v é uma combinação
afim dos vetores v 1 ,...,v r quando se tem v = α 1 v 1 + ··· + α r v r ,
com α 1 + ··· + α r = 1. Diz-se que os vetores v 1 ,...,v r são afimindependentes
quando nenhum deles é uma combinação afim dos
demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores v 1 ,...,v r são afim-independentes.
(2) Se α 1 v 1 +···+α r v r = 0 e α 1 +···+α r = 0 então α 1 = ··· = α r = 0.
∑
(3) Se α 1 v 1 + ··· + α r v r = β 1 v 1 + ··· + β r v r com r ∑
α i = r β i então
α 1 = β 1 ,...,α r = β r . (Em particular, duas combinações afins dos v i
só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores v 2 −v 1 ,v 3 −v 1 ,...,v r −v 1 são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por v 1 ,...,v r tem dimensão r−1.
i=1
i=1