lgebra Linear, Elon Lages Lima

142 A Adjunta Seção 11
11.10. Dada a matriz a ∈ M(m×n), prove que ou o sistema ax = b
tem solução qualquer que seja b ∈ M(m×1) ou o sistema homogêneo
transposto a T y = 0 admite uma solução não-trivial.
11.11. No espaço M(n × n), munido do produto interno 〈a, b〉 =
tr(a T b), (veja Exercício 11.17) considere uma matriz fixa a e defina
o operador linear T a : M(n×n) → M(n×n) pondo T a x = ax. Mostre
que a adjunta de T a é T b , onde b = a T . Prove um resultado análogo
para o operador S a : M(n × n) → M(n × n), onde S a x = xa. (Obs.
tr(ab) = tr(ba).)
11.12. Seja S: R 3 → R 3 a reflexão em torno do plano z = 0, paralelamente
à reta x = y = z. Determine a adjunta S ∗ . Mesma questão
para a projeção P: R 3 → R 3 , sobre o mesmo plano, paralelamente à
mesma reta.
11.13. Sejam A,B: E → E operadores lineares num espaço vetorial
de dimensão finita, munido de produto interno. Prove que se B ∗ A =
0 então, para todo v ∈ E, os vetores Av e Bv são perpendiculares. Em
particular, se A ∗ A = 0 então A = 0.
11.14. Para todo conjunto não-vazio X num espaço vetorial munido
de produto interno, prove queX ⊥⊥ = S(X) (subespaço vetorial gerado
por X).
11.15. Sejam F 1 ,F 2 subespaços do espaço E, munido de produto interno.
Prove que (F 1 +F 2 ) ⊥ = F ⊥ 1 ∩F⊥ 2 , (F 1 ∩F 2 ) ⊥ = F ⊥ 1 +F⊥ 2 .
11.16. Dê mais uma demonstração de queAeA ∗ têm o mesmo posto,
nas seguintes linhas: a afirmação é verdadeira quando A: E → F é
injetiva ou sobrejetiva pois nestes casos A ∗ é sobrejetiva ou injetiva,
respectivamente. Para a conclusão no caso geral, use o fato de que
toda transformação linear se escreve como um produto BA, onde B é
injetiva e A é sobretiva. (Exercício 6.29.)
11.17. Sejam E, F espaços vetoriais de dimensão finita, munidos de
produto interno. Dadas as transformações lineares A,B: E → F, ponha
〈A,B〉 = tr(A ∗ B) e prove que isto define um produto interno em
L(E;F). (Vide Exercício 8.37.) Se a = [a ij ] e b = [b ij ] são as matrizes
de A e B em relação a bases ortonormais de E e F respectivamente,
prove que 〈A,B〉 = ∑ a ij b ij .
i,j