lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 12 Subespaços Invariantes 153
matriz de A tem uma das formas abaixo:
⎡ ⎤
a b 0
⎣c d 0⎦
ou
⎡ ⎤
a b e
⎣c d f⎦.
e f g 0 0 g
Em qualquer caso, prove que existe um vetor não-nulo v ∈ E tal que
Av = gv. [Observação: veremos na Seção 20 que, mais geralmente,
todo operador linear num espaço vetorial de dimensão ímpar possui
pelo menos um auto-vetor.]
12.13. Se F 1 ,F 2 ⊂ E são subespaços invariantes pelo operador linear
A: E → E, prove que F 1 ∩F 2 e F 1 +F 2 também são invariantes por A.
12.14. Seja A: E → E um operador invertível, com dimE finita. Se
o subespaço F ⊂ E é invariante por A, prove que a restrição de A a
F é ainda um operador invertível F → F e conclua que F é também
invariante por A −1 .
12.15. Quais são os autovetores e autovalores do operador de derivação
D: P → P ?
12.16. Num espaço vetorial E de dimensão n, prove que todo operador
linear possui um subespaço invariante de dimensão n − 1 ou
n−2. (Sugestão: aplique o Teorema 12.1 à adjunta do operador dado,
tendo antes introduzido um produto interno em E.)
12.17. Se v e w são respectivamente autovetores de A e A ∗ , correspondentes
a autovalores λ ≠ µ, prove que 〈v,w〉 = 0.
12.18. Prove que um operador A é invertível se, e somente se, não
tem autovalor igual a 0. No caso afirmativo, prove que os autovetores
de A e de A −1 coincidem. E os autovalores?
[ ] a b
12.19. O determinante da matriz a = é, por definição, o
c d
número [ det]
a = ad−bc. Mediante um cálculo direto, mostre que se
p q
m = então det(am) = det a·det m. Prove ainda que det a ≠
r s
0 se, e somente se, a é invertível. Conclua que, para toda matriz
invertível m, tem-se det a = det(m −1 am), logo todas as matrizes do
operador A: E → E, com dim E = 2, têm o mesmo determinante, o
qual é chamado o determinante do operador A.