lgebra Linear, Elon Lages Lima

302 Equações a Diferenças Finitas Seção 22
de vetores u i ∈ U, com Au i = λ i u i (i = 1,2,...,n). Segue-se que
A k .v o = x 1 λ k 1 u 1 +···+x n λ k nu n (k = 0,1,...).
Exemplo 22.5. Seja A: R 2 → R 2 o operador linear definido por
A(x,y) = (2x + 2y,2x − y). O sistema de equações a diferenças finitas
v k+1 = Av k , com v k = (x k ,y k ), escreve-se explicitamente como
x k+1 = 2x k +2y k
y k+1 = 2x k −y k .
O polinômio característico do operador A é p(λ) = λ 2 − λ − 6, cujas
raízes são 3 e −2. Para obter uma base de autovetores {u,v} ⊂ R 2 ,
com u = (α,β) e v = (γ,δ), escrevemos as igualdades Au = 3u,
Av = −2v em termos de coordenadas, obtendo os sistemas
2α+2β = 3α
2α−β = 3β
2γ+2δ = −2γ
2γ−δ = −2δ
Estes sistemas são indeterminados. Têm que ser indeterminados
pois os números 3 e −2 foram obtidos de forma que fosse assim.
Tomemos as soluçõesα = 2,β = 1, logou = (2,1), eγ = 1,δ = −2,
logo v = (1,−2). Então, para todo k = 0,1,2,3,... temos
A k .u = 3 k .u = (3 k .2,3 k )
e
A k .v = (−2) k .v =
(
(−2) k ,(−2) k+1) .
Para obter, digamos, a solução do sistema v k+1 = Av k cujo vetor
inicial é v o = (x o ,y o ), com x o = 1, y o = 1, exprimimos o vetor
v o = (1,1) como combinação linear dos vetores básicos u = (2,1)
e v = (1,−2), obtendo
A solução procurada é, portanto:
v o = 3 5 u− 1 5 v.
v k = A k .v o = 3 5 Ak u− 1 5 Ak v = 3k+1
5
(−2)k
u− v.
5