lgebra Linear, Elon Lages Lima

322 A Forma Canônica de Jordan Apêndice
operadores nilpotentes. Os espaços vetoriais aqui considerados podem
ser reais ou complexos; não faz diferença. Tampouco se necessita
de um produto interno. Veremos que, mesmo no caso real,
os operadores nilpotentes possuem matrizes triangulares. O estudo
aqui feito serve de preparação para a seção seguinte.
Um operador linear A: E → E diz-se nilpotente quando se tem
A k = 0 para algum k ∈ N. O índice de um operador nilpotente é o
menor número k ∈ N tal que A k = 0. Isto significa que A k−1 ≠ 0 e
A k = 0.
Analogamente, uma matriz quadrada a chama-se nilpotente
quando se tem a k = 0 para algum k ∈ N. Se a k−1 ≠ 0 e a k = 0,
diz-se que a matriz nilpotente a tem índice k.
Exemplo A1.1. O operador de derivação D: P n → P n é nilpotente,
com índice n+1.
Exemplo A1.2. Um exemplo simples de matriz nilpotente é dado
pela matriz k×k cuja k-ésima coluna é o vetor nulo e, para 1 ≤ j ≤
k−1, sua j-ésima coluna é e j+1 ∈ R k . Para k = 4 essa matriz tem a
forma abaixo: ⎡ ⎤
0 0 0 0
a = ⎢1 0 0 0
⎥
⎣0 1 0 0⎦ .
0 0 1 0
A matriz deste exemplo provém do operador A: R k → R k , definido
por Ae 1 = e 2 ,...,Ae k−1 = e k , Ae k = 0. Evidentemente, tem-se A k =
0 e A k−1 ≠ 0. Logo o índice do operador A (e da matriz a) é igual a k.
Teorema A1.1. Dado o operador A: E → E, seja u ∈ E um vetor
tal que A k−1 u ≠ 0 e A k u = 0. Então os vetores u,Au,...,A k−1 u são
linearmente independentes.
Demonstração: Seja
α 1 u+α 2 Au+···+α k A k−1 u = 0.
Aplicando o operador A k−1 a ambos os membros desta igualdade,
obtemos α 1 A k−1 u = 0. Como A k−1 u ≠ 0, concluímos que α 1 = 0.
Logo a combinação linear inicial se reduz a
α 2 Au+···+α k A k−1 u = 0.