lgebra Linear, Elon Lages Lima

4 Espaços Vetoriais Seção 1
Variando o conjunto X, obtêm-se diversos exemplos de espaços
vetoriais da forma F(X;R). Por exemplo, se X = {1,...,n} então
F(X;R) = R n ; se X = N então F(X;R) = R ∞ ; se X é o produto cartesiano
dos conjuntos {1,...,m} e {1,...,n} então F(X;R) = M(m×n).
Outros exemplos de espaços vetoriais ocorrem como subespaços,
como veremos a seguir.
Valem num espaço vetorial, como conseqüências dos axiomas, as
regras operacionais habitualmente usadas nas manipulações numéricas.
Vejamos algumas delas.
1. Se w+u = w+v então u = v. Em particular, w+u = w implica
u = 0 e w+u = 0 implica u = −w.
Com efeito, da igualdade w+u = w+v segue-se que
u = 0+u = (−w+w)+u
= −w+(w+u)
= −w+(w+v)
= (−w+w)+v
= 0+v = v.
Em particular, w + u = w implica w + u = w + 0, logo u = 0. E se
w+u = 0 então w+u = w+(−w) logo u = −w.
2. Dados 0 ∈ R e v ∈ E tem-se 0 · v = 0 ∈ E. Analogamente, dados
α ∈ R e 0 ∈ E, vale α·0 = 0.
Com efeito, v+0·v = 1·v+0·v = (1+0)·v = 1·v = v, logo0·v = 0
como vimos acima. De modo análogo, comoα·0+α·0 = α·(0+0) = α·0,
segue-se de 1) que α·0 = 0.
3. Se α ≠ 0 e v ≠ 0 então α·v ≠ 0.
Com efeito, se fosse α · v = 0 então v = 1 · v = (α −1 · α)v =
α −1 ·(αv) = α −1 ·0 = 0, isto é, teríamos v = 0.
4. (−1)·v = −v.
Com efeito,
v+(−1)·v = 1·v+(−1)·v = (1+(−1))·v = 0·v = 0,
logo (−1)v = −v, pela regra 1.
No que se segue, escreveremos u − v para significar u + (−v).
Evidentemente,
u−v = w ⇔ u = v+w.