lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 171
existem uma base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E e números positivos
a 1 ,...,a n tais que Σ é o conjunto dos vetores v = x 1 u 1 + ··· + x n u n
cujas coordenadas x i satisfazem a equação a 1 x 2 1 + ··· + a nx 2 n = 1.
Seja A: E → E um operador invertível. Prove que todo elipsóide Σ é
transformado por A num elipsóide Σ ′ .
(Sugestão: use o Teorema 13.10.)
13.23. Seja Σ um subconjunto de um espaço vetorial de dimensão
finita, com produto interno. Prove queΣéum elipsóide se, e somente
se, existe um operador positivo A: E → E tal que
Σ = {v ∈ E;〈Av,v〉 = 1}.
13.24. Num espaço vetorial E, de dimensão finita, com produto interno
〈u,v〉, seja B um operador positivo. Prove que [u,v] = 〈Bu,v〉
define um novo produto interno em E. Se A: E → E é auto-adjunto
no sentido do produto interno original, prove que A é também autoadjunto
no sentido do novo produto interno se, e somente se,
AB = BA.
13.25. Sejam A: E → E auto-adjunto e B: E → E positivo. Prove:
(a) SeXéaraiz quadrada positiva deBentãoXAX é auto-adjunto.
(b) v é autovetor de XAX se, e somente se, Xv é autovetor de BA.
(c) E possui uma base (não necessariamente ortogonal) de autovetores
de BA. (Ou seja, BA é diagonalizável.)
13.26. Se A: E → E é auto-adjunto e B: E → E é positivo, prove que
E possui uma base V tal que, para todo v ∈ V, existe λ ∈ R com
Av = λBv. (“Problema de autovalores generalizados”.)
13.27. Sejam A, B operadores auto-adjuntos no mesmo espaço vetorial.
SeBA é diagonalizável, prove queAB também é diagonalizável.
(Veja Exercício 12.35.)
13.28. Dada a transformação linear A: E → F, entre espaços vetoriais
de dimensão finita munidos de produto interno, seja σ 2 o maior
autovalor do operador A ∗ A: E → E (σ ≥ 0). Prove que σ é o maior
dos números |Au|, onde u é qualquer vetor unitário em E. Escrevese
||A|| = σ = max{|Au|;u ∈ E,|u| = 1} e diz-se que ||A|| é a norma