lgebra Linear, Elon Lages Lima

254 Determinantes Seção 19
A afirmação acima significa que
det[v 1 ,...,v i +w,...,v n ] = det[v 1 ,...,v i ,...,v n ],
o que é claro pois a segunda parcela do segundo membro abaixo é
zero, pelo Teorema 19.3:
det[...,v i +w,...,] = det[...,v i ,...]+det[...,w,...].
Como aplicação de 5) temos o
Exemplo 19.5. O determinante de uma matriz triangular é igual
ao produto dos elementos de sua diagonal. Com efeito, seja t = [t ij ] ∈
M(n×n) triangular superior. Escrevendo t = [v 1 ,...,v n ], temos
Portanto
v 1 = t 11 e 1 ,
v 2 = t 12 e 1 +t 22 e 2 ,
v 3 = t 13 e 1 +t 23 e 2 +t 33 e 3 , etc.
det t = det[t 11 e 1 ,v 2 ,...,v n ]
= t 11 det[e 1 ,t 12 e 1 +t 22 e 2 ,v 3 ,...]
= t 11 t 22 det[e 1 ,e 2 ,t 13 e 1 +t 23 e 2 +t 33 e 3 ,v 4 ,...]
= t 11 t 22 t 33 det[e 1 ,e 2 ,e 3 ,v 4 ,...].
Prosseguindo analogamente, chegamos a
det t = t 11 t 22 ...t nn .
Dos Teoremas 19.5 e 19.6 resulta que det(ba) = det b · det a
e que det a ≠ 0 se, e somente se, existe a −1 . No caso afirmativo,
det(a −1 ) = (det a) −1 .
Exemplo 19.6. (Regra de Cramer.) Seja a ∈ M(n×n) uma matriz
invertível. Dado b ∈ R n , indiquemos com o símbolo a[i;b] a matriz
obtida de a quando se substitui sua i-ésima coluna por b. A solução
do sistema linear ax = b, de n equações a n incógnitas é o vetor
x = (x 1 ,...,x n ) cujas coordenadas são
x i =
det a[i;b]
det a
, i = 1,...,n.