lgebra Linear, Elon Lages Lima

316 Equações a Diferenças Finitas Seção 22
(c) x k+1 = 2x k +5, x o = 3.
(d) x k+1 = x k +k, x o = 2.
(e) x k+1 = k+1
k+2 ·x k, x o = x o .
22.2. Prove que o conjunto das soluções de uma equação do tipo
x k+1 = a k x k +b k (linear, de primeira ordem, homogênea ou não, com
coeficientes variáveis) é uma variedade afim de dimensão 1 em R ∞ .
Em que condições é um subespaço vetorial?
22.3. Uma solução do sistema
x k+1 = a k x k +b k y k +p k
y k+1 = c k x k +d k y k +q k
pode ser considerada como um par (s,t) de seqüências
s = (x o ,...,x k ,...),
t = (y o ,...,y k ,...),
portanto um elemento de R ∞ × R ∞ . Prove que o conjunto S dessas
soluções é uma variedade afim de dimensão 2 no espaço vetorial
R ∞ ×R ∞ . Em que condições S é um subespaço vetorial?
22.4. Para cada um dos sistemas abaixo, determine a solução
(v o ,...,v k ,...), v k = (x k ,y k ), que tem o valor inicial v o = (x o ,y o )
indicado.
x k+1 = 2x k +9y k x k+1 = 3x k +16y k x k+1 = x k +3y k
y k+1 = x k +2y k y k+1 = −4x k −13y k y k+1 = −2x k +y k
(x o ,y o ) = (3,−2) (x o ,y o ) = (3,2) (x o ,y o ) = (−2,3)
22.5. Seja v k = (x k ,y k ) uma solução do sistema
x k+1 = 2x k −y k
y k+1 = 4x k −2y k .
Prove que, seja qual for o vetor inicial v o = (x o ,y o ), tem-se x k =
y k = 0 para todo k ≥ 2.