lgebra Linear, Elon Lages Lima

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A Matriz de uma
Transformação Linear
A matriz de uma transformação linear é um objeto concreto, associado
a essa transformação na presença de bases em seu domínio e
seu contra-domínio. A matriz permite obter uma variedade ilimitada
de exemplos de transformações lineares, bem como calcular especificamente
a imagem de um dado vetor por uma transformação.
Nesta seção será estudada a relação entre uma transformação linear
e sua matriz. Em particular, o produto de transformações conduzirá
a uma profícua noção de produto de matrizes. Veremos como se relacionam
as matrizes da mesma transformação tomadas em bases
diferentes e daremos uma demonstração direta da igualdade entre o
posto-linha e o posto-coluna de uma matriz.
Vimos na Seção 4 que uma transformação linear A: R n → R m
fica inteiramente determinada pela matriz a = [a ij ] ∈ M(m×n), cujo
ij-ésimo termo a ij é a i-ésima coordenada do vetor A·e j ∈ R m . Com
efeito, conhecendo essa matriz tem-se, para cada v = (x 1 ,...,x n ) ∈
R n , o valor A·v = (y 1 ,...,y m ) dado por
y i = a i1 x 1 +···+a in x n (i = 1,...,m).
Estenderemos agora essas considerações a uma transformação linear
entre dois quaisquer espaços vetoriais de dimensão finita.
Sejam E, F espaços vetoriais de dimensão finita e A: E → F uma
transformação linear. Fixadas bases V = {v 1 ,...,v n } ⊂ E e W =