lgebra Linear, Elon Lages Lima

O método da eliminação gaussiana é apresentado na Seção 9 e
retomado na Seção 17. Ele é aplicado para obter respostas a vários
outros problemas além da resolução de sistemas lineares.
O livro é dividido em vinte e duas seções. As oito primeiras desenvolvem
os conceitos fundamentais e as proposições básicas, que
formam a linguagem mínima necessária para falar inteligentemente
sobre Álgebra Linear. A nona seção faz a primeira aplicação dessas
idéias, tratando da eliminação gaussiana.
A partir da Seção 10, os espaços dispõem de produto interno,
o que possibilita o emprego de evocativas noções geométricas como
perpendicularismo, comprimento, distância, etc. São destacados
tipos particulares de operadores lineares, cujas propriedades
especiais são demonstradas nas Seções 13, 14 e 15. O Teorema
Espectral para operadores auto-adjuntos é provado na Seção 13,
onde se demonstra também o Teorema dos Valores Singulares
(Teorema 13.10), cuja grande utilidade não corresponde à sua conspícua
ausência na maioria dos textos elementares.
Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido
no ensino da Álgebra Linear é a pseudo-inversa, que expomos na
Seção 16. Trata-se de um tópico fácil, atraente, de grande apelo
geométrico, que constitui um bom campo de aplicação para os conceitos
anteriormente estudados.
A Seção 17 é um interlúdio matricial, onde se mostra como as
propriedades das transformações lineares estudadas antes se traduzem
imediatamente em fatos não-triviais sobre matrizes, principalmente
algumas decomposições de grande utilidade nas computações.
As formas bilineares e quadráticas são estudadas na Seção 18,
onde é estabelecida a correspondência fundamental (isomorfismo)
entre formas e operadores (Teorema 18.2) e provado o Teorema dos
Eixos Principais (Teorema 18.3), que é a versão do Teorema Espectral
para formas quadráticas. É ainda exposto o método de Lagrange
para reduzir uma forma quadrática a uma soma (ou diferença) de
quadrados e é feito um estudo das superfícies quádricas.
Os determinantes são estudados na Seção 19, onde se define diretamente
o determinante de um operador sem recurso a bases nem
matrizes. Em seguida, o determinante de uma matriz n × n é caracterizado
como a única função n-linear alternada de suas colunas
(ou linhas) que assume o valor 1 na matriz unitária. A colocação dos