lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Produto Interno
O produto interno, que já foi mencionado brevemente antes, na definição
do produto de duas matrizes, será apresentado formalmente
nesta seção e adotado sistematicamente a partir daqui. Trata-se de
uma noção que completa e enriquece a estrutura de um espaço vetorial,
permitindo a utilização de uma linguagem geométrica altamente
sugestiva e o destaque de tipos especiais de operadores, os
quais admitem uma análise mais profunda de suas propriedades,
como se verá a seguir.
Os axiomas de espaço vetorial não são suficientes para abordar
certas noções geométricas como ângulo, perpendicularismo, comprimento,
distância, etc. Isto se torna possível com a introdução de um
produto interno.
Um produto interno num espaço vetorial E é um funcional bilinear
simétrico e positivo em E. Mais precisamente, um produto
interno é uma função E × E → R, que associa a cada par de vetores
u,v ∈ E um número real 〈u,v〉, chamado o produto interno de u
por v, de modo que sejam válidas as seguintes propriedades, para
quaisquer u,u ′ ,v,v ′ ∈ E e α ∈ R:
Bilinearidade: 〈u+u ′ ,v〉 = 〈u,v〉 + 〈u ′ ,v〉, 〈αu,v〉 = α〈u,v〉,
〈u,v+v ′ 〉 = 〈u,v〉+〈u,v ′ 〉, 〈u,αv〉 = α〈u,v〉;
Comutatividade (simetria): 〈u,v〉 = 〈v,u〉;