lgebra Linear, Elon Lages Lima

84 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
{w 1 ,...,w m } ⊂ F, para cada j = 1,...,n o vetor Av j se exprime como
combinação linear dos vetores da base W:
Av j = a 1j w 1 +a 2j w 2 +···+a mj w m =
m∑
a ij w i .
i=1
Assim, a transformação linear A: E → F juntamente com as bases
V ⊂ E e W ⊂ F determinam uma matriz a = [a ij ] ∈ M(m × n),
chamada a matriz de A relativamente a essas bases (ou nas bases
V,W).
Por definição, a j-ésima coluna da matriz a é formada pelas coordenadas
de Av j em relação à base W.
Embora isso não seja mencionado explicitamente, convém salientar
que os vetores nas bases V e W são dispostos numa ordem fixa,
sem o que a matriz a não ficaria bem definida.
No caso em que A: E → E é um operador linear, a menos que seja
feita menção explícita em contrário, considera-se apenas uma base
V = {v 1 ,...,v n } ⊂ E e a matriz a = [a ij ] do operador A relativamente
à base V (ou na base V) é definida pelas n igualdades
Av j =
n∑
a ij v i
i=1
(j = 1,...,n).
Neste caso, a ∈ M(n × n) é a matriz quadrada n × n cuja j-ésima
coluna é formada pelas coordenadas do vetor
Av j = a 1j v 1 +a 2j v 2 +···+a nj v n
na base V.
Quando considerarmos uma transformação linear A: R n → R m
e dissermos apenas a matriz de A, estaremos significando a matriz
de A relativamente às bases canônicas de R n e R m . Caso utilizemos
outras bases, isto será dito explicitamente.
Exemplo 8.1. Consideremos um espaço vetorial E, de dimensão
finita. Dadoα ∈ R, sejaA: E → E o operador linear definido porAv =
αv para todov ∈ E. Relativamente a qualquer baseV = {v 1 ,...,v n } ⊂
E, a matriz a do operador A é sempre a mesma, com números α na