lgebra Linear, Elon Lages Lima

36 Bases Seção 3
3.26. Seja X um conjunto infinito. Para cada a ∈ X, seja f a : X → R
a função tal que f a (a) = 1 e f a (x) = 0 se x ≠ a. Prove que o conjunto
Y ⊂ F(X;R) formado por estas funções é linearmente independente,
logo F(X;R) não tem dimensão finita. Prove ainda que Y não gera
F(X;R).
3.27. Sejam F 1 ,F 2 ⊂ E subespaços de dimensão finita. Obtenha uma
base do subespaço F 1 +F 2 que contenha uma base de F 1 , uma base de
F 2 e uma base de F 1 ∩F 2 .
3.28. Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e
daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau ≤ n.
(b) polinômios ímpares de grau ≤ n.
(c) polinômios de grau ≤ n que se anulam para x = 2 e x = 3.
(d) vetores de R n (n ≥ 6) nos quais a segunda, a quarta e a sexta
coordenadas são iguais.
3.29. Pode-se ter uma base de P n formada por n + 1 polinômios de
grau n ?
3.30. Mostre que os vetores u = (1,1,1), v = (1,2,3) e w = (1,4,9)
formam uma base de R 3 . Exprima cada um dos vetores e 1 , e 2 , e 3 da
base canônica de R 3 como combinação linear de u, v e w.
3.31. Ache uma seqüência infinita F 1 ,F 2 ,...,F n ,... de subespaços
vetoriais de P tais que: (a) dim F n = ∞; (b) F m ∩F n = {0} se m ≠ n.
3.32. Para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, sejam s i ,t j : M(m × n) → R as
funções definidas por s i (a) = soma dos elementos da i-ésima linha
de a e t j (a) = soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que
s 1 ,...,s m ,t 1 ,...,t n são L.D. no espaço vetorial E = F(M(m×n);R)
mas o conjunto {s 1 ,...,s m−1 ,t 1 ,...,t n } é L.I. .
3.33. Com as notações do exercício anterior, sejam τ,σ: M(n×n) →
R as funções definidas, para cada a = [a ij ] ∈ M(n × n) por τ(a) =
a 11 + ··· + a nn (soma dos termos da diagonal principal) e σ(a) =
a 1n +a 2,n−1 +···+a n1 (soma dos termos da outra diagonal). Prove