lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 225
Tomando bases U = {u 1 ,...,u m } ⊂ E e V = {v 1 ,...,v n } ⊂ F, os
números b ij = b(u i ,v j ) definem uma matriz b = [b ij ] ∈ M(m × n),
chamada a matriz da forma bilinear b relativamente às bases U, V.
Conhecidos os valores b ij = b(u i ,v j ), os quais podem ser tomados
arbitrariamente, a forma bilinear b: E × F → R fica inteiramente
determinada pois, para u = Σx i u i ∈ E e v = Σy j v j ∈ F quaisquer,
tem-se
b(u,v) = ∑ i,j
x i y j b(u i ,v j ) = ∑ i,j
b ij x i y j , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
A correspondência que associa a cada forma bilinear b: E × F → R
sua matriz b = [b ij ] relativamente às bases U ⊂ E, V ⊂ F (supostas
fixadas) é um isomorfismo entre os espaços vetoriais B(E × F) e
M(m×n). Segue-se que B(E×F) tem dimensão mn.
Dadas novas bases U ′ = {u ′ 1 ,...,u′ m} ⊂ E e V ′ = {v ′ 1 ,...,v′ n} ⊂ F
sejam
m u ′ j = ∑
n p ij u i , v ′ j = ∑
q ij v i
i=1
eb ′ ij = b(u′ i ,v′ j
). A matriz da forma bilinearbrelativamente às bases
U ′ e V ′ é b ′ = [b ′ ij ] ∈ M(m × n). O teorema abaixo exprime b′ em
função de b e das matrizes de passagem p = [p ij ] ∈ M(m × m),
q = [q ij ] ∈ M(n×n).
Teorema 18.1. As matrizes b e b ′ , da forma bilinear b nas bases
U, V e U ′ , V ′ respectivamente, se relacionam pela igualdade b ′ =
p T bq, onde p é a matriz de passagem de U para U ′ e q é a matriz de
passagem de V para V ′ .
Demonstração: Para todo i = 1,...,m e todo j = 1,...,n, temos
( m
b ′ ij = b(u′ i ,v′ j ) = b ∑
p ri u r ,
= ∑ r,s
r=1
p ri q sj b rs = ∑ r,s
s=1
i=1
)
n∑
q sj v s = ∑ p ri q sj b(u r ,v s )
r,s
p ri b rs q sj = (p T bq) ij ,
logo b ′ = p T bq.