lgebra Linear, Elon Lages Lima

62 Núcleo e Imagem Seção 6
b+0 = b ⇒ x 0 +v ∈ V. Logo x 0 +N(A) ⊂ V. Reciprocamente,
x ∈ V ⇒ x = x 0 +(x−x 0 ) = x 0 +v
⇒ b = Ax = A(x 0 +v) = Ax 0 +Av = b+Av
⇒ b = b+Av
⇒ Av = 0
⇒ x = x 0 +v ∈ x 0 +N(A).
Logo V ⊂ x 0 +N(A).
□
Observação. Geometricamente, o Teorema 6.4 significa que o espaço
vetorial E se exprime como uma reunião de lâminas paralelas
V = x 0 + N(A), cada uma das quais é uma variedade afim que
se transforma por A num único ponto b∈Im(A). Este ponto, naturalmente,
varia quando se passa de uma lâmina para outra. (Veja
Fig. 6.1.)
E
x
0
F
)
+
x 0
N
A
(
)
O
N
A
(
A
Ax
0
O
Im( A)
Figura 6.1.
Algebricamente, o Teorema 6.4 significa que, para cada b ∈
Im(A), obtêm-se todas as soluções x ∈ E do sistema linear Ax = b
assim: acha-se uma “solução particular”x 0 desse sistema e a solução
geral x = x o +v é a soma dessa solução particular com a “solução geral
v do sistema homogêneo associado” Ax = 0. Naturalmente, esta
última é um elemento qualquer do núcleo de A. Se b /∈ Im(A) então
o sistema Ax = b, evidentemente, não possui solução.
Exemplo 6.5. O núcleo de uma rotação ou de uma reflexão no plano
R 2 reduz-se a {0}. O núcleo da projeção ortogonal P: R 2 → R 2 sobre
a reta r é a reta que contém 0 e é perpendicular a r. O núcleo da