lgebra Linear, Elon Lages Lima

294 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
F ⊂ E, invariante por A, e a matriz da restrição A: F → F é
[ ] α β
.
−β α
21.2. Seja A: E → E um operador linear, com dim E = n. Considere
o conjunto M de todos os polinômios p(λ) tais que p(A) = 0. Prove:
(a) Se p 1 (λ),p 2 (λ) ∈ M e α 1 , α 2 são números então α 1 p 1 (λ) +
α 2 p 2 (λ) ∈ M.
(b) Se p(λ) ∈ M e q(λ) é qualquer polinômio então p(λ)q(λ) ∈ M.
(c) Existe um único polinômio mônico m A (λ) ∈ M tal que todos
os outros p(λ) ∈ M são múltiplos de m A (λ). [Considere o polinômio
mônico de menor grau possível em M. Chame-o de
m A (λ). Para todo p(λ) ∈ M tem-se p(λ) = q(λ)·m A (λ)+r(λ),
com gr·r(λ) < gr·m A (λ). Segue-se de (a) e (b) que r(λ) ∈ M,
logo r(λ) = 0.]
(d) O polinômio m A (λ) chama-se o polinômio mínimo do operador
A. Ele é o polinômio mônico de menor grau tal que m A (A) = 0.
As conclusões acima valem igualmente para espaços vetoriais
reais ou complexos.
(e) Se B: E → E é invertível então, para todo polinômio p(λ), temse
p(B −1 AB) = B −1 · p(A) · B. Segue-se que os operadores A e
B −1 AB têm o mesmo polinômio mínimo.
(f) Para toda matriz a do operadorA, m A (λ) é o polinômio mônico
de menor grau tal que m A (a) = 0.
21.3. Determine o polinômio mínimo dos seguintes operadores:
(a) O operador zero.
(b) O operador αI, com α ≠ 0.
(c) Uma projeção.
(d) Uma involução.