lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 221
17.5. Um operador T: E → E chama-se triangularizável quando o
espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de
T é triangular. Prove:
(a) T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia ascendente
{0} = F o ⊂ F 1 ⊂ ··· ⊂ F n = E, de subespaços invariantes
por T, com dim F i = i (i = 0,...,n).
(b) T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia descendente
E = G n ⊃ ··· ⊃ G 1 ⊃ G o = {0} de subespaços invariantes
por T tais que dim G i = i para i = 0,1,...,n.
(c) Se existe uma base de E na qual a matriz de T é triangular
superior, existe também uma base de E na qual a matriz de T
é triangular inferior.
(d) T é triangularizável se, e somente se, T ∗ é triangularizável.
17.6. Seja t = [t ij ] ∈ M(n×n) uma matriz triangular. Prove que os
elementos t ii da diagonal de t são autovalores do operador T: R n →
R n cuja matriz na base canônica é t. Conclua que t é diagonalizável
quando sua diagonal não possuir elementos repetidos.
17.7. Seja A: R 3 → R 3 o operador definido por A(x,y,z) = (x +
2y+3z,y+2z,3z). Obtenha dois autovetores L.I. para A e prove que
qualquer outro autovetor deAémúltiplo de um desses dois. Conclua
que A não é diagonalizável, embora sua matriz seja triangular.
17.8. Considere o operador B: R 3 → R 3 , dado por B(x,y,z) = (x +
2z,y+3z,4z), cuja matriz é triangular. Ache uma base deR 3 formada
por autovetores de B.
17.9. Dada a matriz positiva
a =
[ ] 1 2
,
2 5
determine
t =
[ ] x y
0 z
de modo que se tenha a decomposição de Cholesky a = t T .t.