lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 303
Em termos das coordenadas v k = (x k ,y k ), temos
x k = 2 5 [3k+1 +(−2) k−1 ] e y k = 1 5 [3k+1 −(−2) k+1 ].
No caso em que dim E = 2, o problema de calcular efetivamente a
solução do sistema v k+1 = Av k pode ser resolvido em todos os casos,
como mostraremos agora.
Tendo visto o caso em que o espaço E possui uma base de autovetores
do operador A: E→E, vamos agora (supondo sempre dim E=2)
examinar os casos em que tal base não existe. Há duas possibilidades,
que são as seguintes:
Primeira. O polinômio característico de A possui uma raiz real
dupla λ, mas A ≠ λI. (Evidentemente, quando A = λI todo vetor
não-nulo em E é autovetor de A, logo este caso já foi visto.)
Segunda. O polinômio característico de A possui raízes complexas
λ+iµ e λ−iµ (com i = √ −1 e µ ≠ 0).
Consideremos o primeiro destes dois casos.
Existe um vetor não-nulo u ∈ E tal que Au = λu. Além disso,
somente os múltiplos de u podem ser autovetores de A. (Com efeito,
sendo λ o único autovalor de A, se existisse um autovetor v não
múltiplo de u, teríamos uma base {u,v} ⊂ E com Au = λu, Av = λv,
donde A = λI.)
Tomemos um vetor v tal que {u,v} ⊂ E seja uma base. Então
Av = αu + βv com α ≠ 0 pois v não é autovetor. Se fôr α ≠ 1,
substituímos v por w = α −1 v e obtemos uma nova base {u,w} ⊂ E
tal que Au = λu, Aw = u + γw. Na base {u,w}, A tem a matriz
triangular [ ] λ 1
,
0 γ
cujos autovalores são λ, γ. Segue-se que γ = λ. Assim, temos
{
Au = λu
Aw = u+λw
e a matriz de A na base {u,w} é m =
[ ] λ 1
.
0 λ
(*)