lgebra Linear, Elon Lages Lima

134 A Adjunta Seção 11
acima mencionado.) Obtém-se um isomorfismo A: E → E ∗ impondo
que Av i = v ∗ i
(i = 1,...,n).
Uma desvantagem dos isomorfismos entre E e E ∗ obtidos mediante
o emprego de uma base é que eles não são intrínsecos: dado um
vetor v ∈ E, o funcional v ∗ ∈ E ∗ que a ele corresponde depende não
apenas de v mas também da base de E que se tomou. Esta dificuldade,
entretanto, desaparece quando E está munido de um produto
interno, como veremos agora.
Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, dotado de um produto
interno. Definimos uma transformação linear ξ: E → E ∗ fazendo
corresponder a cada vetor v ∈ E o funcional linear ξ · v = v ∗ ,
tal que v ∗ (w) = 〈w,v〉 para todo w ∈ E.
A verificação da linearidade de ξ é imediata: se u,v ∈ E, como
(u+v) ∗ (w) = 〈w,u+v〉 = 〈w,u〉+〈w,v〉
= u ∗ (w)+v ∗ (w)
= [u ∗ +v ∗ ](w)
para todo w ∈ E, temos (u + v) ∗ = u ∗ + v ∗ . Analogamente, (αv) ∗ =
α·v ∗ .
Além disso, ξ é injetiva. Com efeito, dado v ∈ E, se v ∗ = 0 então,
para todo w ∈ E tem-se
〈w,v〉 = v ∗ (w) = 0(w) = 0.
Em particular, 〈v,v〉 = 0, logo v = 0.
Finalmente, ξ: E → E ∗ é sobrejetiva pois é injetiva e os espaços
E, E ∗ têm, como vimos, a mesma dimensão.
Assim, podemos enunciar o
Teorema 11.1. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, com
produto interno. A correspondência ξ: E → E ∗ que associa a cada
v ∈ E o funcional linear ξ(v) = v ∗ , tal que v ∗ (w) = 〈w,v〉 para todo
w ∈ E, é um isomorfismo.
O teorema acima será usado principalmente na medida em que
assegura a existência de ξ −1 . Mais explicitamente: a todo funcional
linear f: E → R corresponde um único vetor v = v f ∈ E tal que
〈w,v〉 = f(w) para todo w ∈ E. Um tanto informalmente: para se
conhecer um vetor v ∈ E basta que se conheça o produto interno de