lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 311
O fato de que S é um subespaço vetorial é de verificação imediata.
(S é o núcleo do operador linear A: R ∞ → R ∞ , definido por
Ax = y, onde y k = x k+2 +ax k+1 +bx k .) Além disso, o comentário feito
no início desta seção sobre a existência e unicidade da solução de
uma equação de segunda ordem x k+2 = f(x k ,x k+1 ), com valores iniciais
x o , x 1 pré-fixados, significa precisamente que a correspondência
S → R 2 , que associa a cada solução x = (x k ) da equação (*) seus dois
primeiros termos (x o ,x 1 ), nesta ordem, é um isomorfismo entre S e
R 2 . Portanto o espaço vetorial S tem dimensão 2.
Este argumento mostra ainda que se x = (x k ) e x ′ = (x ′ k ) são
duas soluções da equação x k+2 +ax k+1 +bx k = 0 tais que os vetores
(x o ,x 1 ) e (x ′ o,x ′ 1
) são linearmente independentes então toda solução
desta equação se exprime, de modo único, como combinação linear
αx+βx ′ .
A segunda observação é que se r é uma raiz do polinômio característico
λ 2 +aλ+b = 0 então a seqüência r ∗ = (1,r,r 2 ,...,r k ,...) é
uma solução da equação x k+2 +ax k+1 +bx k = 0.
Com efeito, de r 2 +ar+b = 0 segue-se que
r k+2 +ar k+1 +br k = r k (r 2 +ar+b) = r k ×0 = 0.
Resulta dessas duas observações que, para determinar todas as
soluções da equação x k+2 +ax k+1 +bx k = 0, devemos usar as raízes
do seu polinômio característico a fim de obter duas soluções linearmente
independentes. Todas as demais soluções serão combinações
lineares destas.
Há 3 casos a considerar.
Primeiro caso. O polinômio característico λ 2 + aλ + b tem duas
raízes reais distintas r, s.
Então as seqüências
r ∗ = (1,r,r 2 ,...,r k ,...) e s ∗ = (1,s,s 2 ,...,s k ,...)
são soluções e, como r ≠ s, os vetores inicias (1,r) e (1,s) são L.I. em
R 2 , logo r ∗ e s ∗ são linearmente independentes em R ∞ . A solução
geral da equação x k+2 +ax k+1 +bx k = 0 é, portanto,
x k = αr k +βs k ,
onde as constantes α e β podem ser determinadas de modo que x o e
x 1 tenham valores pré-fixados.