lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 12 Subespaços Invariantes 151
Se θ ≠ 0 e θ ≠ 180 ◦ , o trinômio p(λ) não possui raiz real pois neste
caso seu discriminante ∆ = 4(cos 2 θ − 1) é negativo. Conseqüentemente
R só possui autovalores (reais) se θ = 0 ou θ = 180 ◦ .
Exemplo 12.6. Definamos o operador A: R 2 → R 2 pondo A(x,y) =
(4x + 3y,x + 2y). Seu polinômio característico é p(λ) = λ 2 − 6λ + 5,
cujas raízes sãoλ 1 = 1 eλ 2 = 5. Estes números são autovalores deA.
Existem, portanto, vetores não-nulosv 1 ev 2 emR 2 , tais queAv 1 = v 1
e Av 2 = 5v 2 . Pelo Teorema 12.2, v 1 e v 2 formam uma base de R 2 , em
relação à qual a matriz do operador A tem a forma diagonal:
[ ] 1 0
a =
0 5
A fim de determinar os vetores v 1 = (x,y) e v 2 = (r,s) exprimimos as
igualdades Av 1 = v 1 e Av 2 = 5v 2 em termos de coordenadas, obtendo
os sistemas lineares
e
4x+3y = x
x+2y = y
4r+3s = 5r
r+2s = 5s.
Ambos os sistemas acima são indeterminados, e tinham que ser
assim pois se v é autovetor de A, todo múltiplo αv também é. Tomando
uma solução não-nula de cada um desses sistemas obtemos
v 1 = (1,−1), v 2 = (3,1) tais que {v 1 ,v 2 } ⊂ R 2 é uma base formada por
autovetores de A.
Exercícios
12.1. Suponha que o operador linear A: E → E, num espaço vetorial
de dimensão n, admita um subespaço invariante F, de dimensão r.
Prove que existe uma base de E, relativamente à qual a matriz de A
tem a forma [ ] a b
,
0 c