lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 97
determine a matriz de A relativamente à base canônica de R 3 .
8.22. Obtenha bases U ⊂ R 2 e V ⊂ R 3 relativamente às quais a
matriz da transformação linearA: R 2 → R 3 , dada porA(x,y) = (2x+
y,3x−2y,x+3y), tem as linhas (1,0), (0,1) e (0,0).
8.23. Suponha que os operadores lineares A,B: E → E têm a mesma
matriz a = [a ij ] em relação a duas bases U,V ⊂ E. Prove que existe
um isomorfismo C: E → E tal que B = CAC −1 .
8.24. Seja A: R 2 → R 2 o operador cuja matriz na base canônica é
[ ] 0 1
.
−1 0
Prove que se
a =
[ ]
a11 a 12
a 21 a 22
é a matriz de A relativamente a uma base qualquer de R 2 então
a 12 ≠ 0 ou a 21 ≠ 0. (Noutras palavras, nenhuma matriz de A é
diagonal.)
8.25. Considere as transformações lineares
A: R n+1 → P n , A(α o ,α 1 ,...,α n ) = α o +α 1 x+···+α n x n
B: P n → R n+1 , B.p(x) = (p(0),p(1),...,p(n)).
Determine a matriz de BA: R n+1 → R n+1 (na base canônica) e prove
que é uma matriz invertível.
8.26. Seja a a matriz n×n cujas linhas são os vetores v 1 = (1,2,...
...,n), v 2 = (n+1,n+2,...,2n), etc. Prove que o posto de a é igual
a 2 e que o subespaço de R n gerado por suas linhas coincide com o
subespaço gerado por suas colunas.
8.27. Prove que uma matriz c = [c ij ] ∈ M(m × n) tem posto 1 se,
e somente se, existem vetores não-nulos a = (a 1 ,...,a m ) ∈ R m e
b = (b 1 ,...,b n ) ∈ R n tais que c ij = a i .b j para todo i e todo j.