lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Pseudo-inversa
A noção de pseudo-inversa e o estudo de suas propriedades constituem
uma maneira simples e atraente de aplicar alguns dos resultados
obtidos nas seções anteriores. Do ponto de vista prático, esta
noção responde uma pergunta bastante natural, que ocorre de fato
em diferentes aplicações da Álgebra Linear: dada A ∈ L(E;F) e dado
b ∈ F, se é impossível achar x ∈ E tal que Ax = b, qual é, ou melhor,
quais são os vetores x ∈ E tais que o erro |Ax−b| é o menor possível
e qual entre esses vetores x é a solução ótima, ou seja, tem a menor
norma?
Sabemos que um sistema de m equações lineares com n incógnitas
pode ser interpretado como o problema de achar um vetorx ∈ R n
tal que Ax = b, onde A: R n → R m é a transformação linear cuja
matriz (nas bases canônicas de R n e R m ) é dada pelos coeficientes do
sistema e b ∈ R m é o vetor cujas coordenadas são os números que
figuram nos segundos membros das equações do sistema.
Se b não pertence à imagem de A, o sistema Ax = b evidentemente
não possui solução. Faz sentido, entretanto, procurar em R n
um vetor x tal que Ax esteja o mais próximo possível de b e, dentre
esses vetores x, aquele de menor norma. Isto nos leva à noção de
pseudo-inversa de uma transformação linear.
Seja A: E → F uma transformação linear entre espaços vetoriais
de dimensão finita, munidos de produto interno. A pseudo-inversa