lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 14 Operadores Ortogonais 175
Na discussão a seguir, um papel central é desempenhado pelos
conjuntos ortonormais{u 1 ,...,u n } ⊂ R m . Uma matriz u ∈ M(m×n)
cujas n colunas formam um conjunto ortonormal em R m chama-se
uma matriz ortogonal.
Seu 1 ,...,u n ∈ R m são as colunas da matriz u = [a ij ] ∈ M(m×n),
a condição para que u seja ortogonal é que 〈u i ,u j 〉 = 0 se i ≠ j e
〈u i ,u i 〉 = 1, onde i,j = 1,...,n. Noutras palavras, deve-se ter
m∑
a ki a kj = δ ij . (*)
k=1
(Estamos usando aqui, mais uma vez, o símbolo δ ij , conhecido como
“delta de Kronecker”, que vale 0 se i ≠ j e 1 se i = j.) A igualdade (*)
significa precisamente que o produto u T · u da transposta u T por u é
igual à matriz identidade n×n.
Portanto a matriz u ∈ M(m × n) é ortogonal se, e somente se,
u T · u = I n .
Se u ∈ M(m × n) é ortogonal então seu posto é n (logo m ≥ n),
pois suas n colunas são vetores L.I. no espaço R m . Quando m = n e
u ∈ M(n × n) é uma matriz quadrada ortogonal então a igualdade
u T · u = I n implica u · u T = I n logo u T = u −1 . (Vide Corolário do
Teorema 6.7 ou a propriedade 7) do produto de matrizes na Seção 8.)
Assim, matrizes quadradas ortogonais são aquelas cuja transposta
é igual à inversa.
A igualdade u·u T = I n significa que as linhas de u formam um
conjunto de n vetores ortonormais em R m . Portanto, para matrizes
quadradas, colunas ortonormais equivale a linhas ortonormais.
Se u ∈ M(n × p), v ∈ M(m × n) são ortogonais então (vu) T vu
= u T v T vu = u T I n u = u T u = I p logo o produto vu é ortogonal. Se
u ∈ M(n×n) é ortogonal então (u T ) T ·u T = u·u T = I n logo u T = u −1
também é ortogonal.
Evidentemente, se m > n, as m linhas de uma matriz ortogonal
u ∈ M(m × n) não podem formar um conjunto ortonormal pois são
vetores em R n , logo u T não é ortogonal quando u não é quadrada.