lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 305
Para completar o estudo de sistemas lineares de equações a diferenças
finitas no caso 2×2, trataremos agora o caso de um operador
linear A: E → E, (com dim E = 2) cujas raízes características são
números complexos λ+iµ,λ−iµ, com µ ≠ 0.
Será conveniente considerar o complexificado deE, que é o espaço
vetorial complexoE c , de dimensão (complexa) 2, cujos elementos têm
a forma u+iv, onde u,v ∈ E. As operações em E c são dadas por
(u+iv)+(u ′ +iv ′ ) = (u+u ′ )+i(v+v ′ )
e
(α+iβ)(u+iv) = (αu−βv)+i(αv+βµ).
Tem-se E⊂E c de modo natural, pois u=u+i.0. O operador A: E→E
estende-se a um operador A c : E c → E c , chamado o complexificado de
A, pondo-se, por definição, A c (u + iv) = Au + iAv. Toda base de E
é também uma base de E c , relativamente à qual a matriz de A c é a
mesma matriz de A. Em particular, os polinômios característicos de
A e A c coincidem, logo λ + iµ e λ − iµ são autovalores distintos do
operadorC-linearA c : E c → E c . Para nossos efeitos, basta considerar
o autovalor λ+iµ.
Seja u+iv ∈ E c um autovetor de A c correspondente ao autovalor
λ+iµ. Então u,v ∈ E são vetores não simultaneamente nulos, com
A c (u+iv) = (λ+iµ)(u+iv), ou seja:
Au+iAv = (λu−µv)+i(µu+λv),
logo
Au = λu−µv e Av = µu+λv. (*)
Afirmamos que os vetores u,v ∈ E são linearmente independentes.
Em primeiro lugar, u e v são ambos ≠ 0 pois se um deles fosse
nulo o outro seria ≠ 0 e, pelas equações (*), este seria um autovetor
do operador A: E → E. Em seguida, se u e v fossem L.D. teríamos
v = αu, logo Au = λu−µv = (λ−αµ)u e u seria um autovetor de A.
Portanto, {u,v} ⊂ E é uma base, relativamente à qual a matriz do
operador A: E → E tem a forma
a =
[ ] λ µ
.
−µ λ