lgebra Linear, Elon Lages Lima

2 Espaços Vetoriais Seção 1
Observação: O mesmo símbolo 0 representa o vetor nulo e o número
zero.
Exemplo 1.1. Para todo número naturaln, o símboloR n representa
o espaço vetorial euclidiano n-dimensional. Os elementos de R n são
as listas ordenadas u = (α 1 ,...,α n ), v = (β 1 ,...,β n ) de números
reais.
Por definição, a igualdade vetorialu = v significa asnigualdades
numéricas α 1 = β 1 ,...,α n = β n .
Os números α 1 ,...,α n são chamados as coordenadas do vetor u.
As operações do espaço vetorial R n são definidas pondo
u+v = (α 1 +β 1 ,...,α n +β n ),
α·u = (αα 1 ,...,αα n ).
O vetor zero é, por definição, aquele cujas coordenadas são todas
iguais a zero: 0 = (0,0,...,0).
O inverso aditivo de u = (α 1 ,...,α n ) é −u = (−α 1 ,...,−α n ).
Verifica-se, sem dificuldade, que estas definições fazem de R n um
espaço vetorial. Para n = 1, tem-se R 1 = R = reta numérica. R 2 é o
plano euclidiano e R 3 é o espaço euclidiano tridimensional da nossa
experiência cotidiana.
Para ajudar a compreensão, os vetores de R 2 e R 3 podem ser representados
por flechas com origem no mesmo pontoO. A somau+v
é a flecha que liga a origem O ao vértice que lhe é oposto no paralelogramo
que tem u e v como lados. (Veja Figura 1.1.)
u
+
v
v
u
0
Figura 1.1 – Soma de vetores.