lgebra Linear, Elon Lages Lima

78 Soma Direta e Projeção Seção 7
Exemplo 7.1. Para todo operador linear A: E → E num espaço
vetorial de dimensão finita vale a relação dim E = dim N(A) +
dim Im(A). Isto porém não implica que se tenha sempreE = N(A)⊕
Im(A). Por exemplo, se A: R 2 → R 2 é definido por A(x,y) =
(x−y,x−y) então, tomando w = (1,1), temos w = Av, com v = (2,1)
e Aw = 0, logo N(A)∩Im(A) contém o vetor não-nulo w.
Outro exemplo de operador linear que está ligado à decomposição
de um espaço vetorial como soma direta de dois subespaços é fornecido
pelas involuções.
Uma involução é um operador linear S: E → E tal que S 2 = I, ou
seja, S(Sv) = v para todo v ∈ E.
Noutras palavras, uma involução é um operador invertível, igual
ao seu próprio inverso. Um exemplo de involução é a reflexão (ortogonal)
no plano em torno de uma reta que passa pela origem.
Veremos agora que toda involução é a reflexão em torno de um
subespaço, paralelamente a outro.
Teorema 7.3. Seja S: E → E uma involução. Os conjuntos F 1 =
{u ∈ E;Su = u} e F 2 = {v ∈ E;Sv = −v} são subespaços vetoriais e
E = F 1 ⊕F 2 . Para todow = u+v, comu ∈ F 1 ev ∈ F 2 tem-seSw = u−v.
Além disso, P = 1 2 (S + I) é a projeção sobre F 1, paralelamente a F 2 .
(Veja Fig. 7.2.)
v
F 2
w
0
u
F 1
-
v
Sw
Figura 7.2.