lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 301
Teorema 6.4, a solução geral da equação Ax = ^b é a soma de um
elemento qualquer do núcleo de A (solução geral da equação homogêneaAx=0)
com uma solução particular da equaçãoAx=^b dada.
Para obter uma dessas soluções particulares, tentamos a solução
constante ^c = (c,c,...). O número c deve cumprir c = ac+b, isto é,
(1−a)c = b. Como no caso a = 1 já foi visto no Exemplo 22.1, supomos
aqui a ≠ 1 e obtemos c = (1−a) −1 .b. Por sua vez, a solução geral
de Ax = 0 (equação equivalente a x k+1 = ax k ) é uma progressão
geométrica (p,ap,a 2 p,...) cujo primeiro termo p é arbitrário. Assim,
a solução geral da equação x k+1 = ax k + b, para a ≠ 1, é dada
por x k = a k .p + (1 − a) −1 .b. Note que x o = p + (1 − a) −1 .b, donde
p = x o −(1−a) −1 .b e, por substituição, vem:
x k = a k .x o −a k (1−a) −1 .b+(1−a) −1 b = a k x o + 1−ak
1−a ·b,
reobtendo o resultado do Exemplo 22.3.
22.A. Sistemas Lineares
Generalizando o Exemplo 22.2, podemos considerar, num espaço vetorial
E, um operador linear A: E → E e procurar uma seqüência de
vetores v k ∈ E tais que
v k+1 = A.v k (k = 0,1,2,...).
Isto se chama um sistema linear homogêneo de primeira ordem,
de equações a diferenças finitas com coeficientes constantes.
Evidentemente, dado arbitrariamente um vetor inicial v o ∈ E,
existe uma única seqüência (v o ,v 1 ,...,v k ,...) de vetores em E, começando
com v o e cumprindo a condição v k+1 = Av k para todo k ≥ 0.
Basta tomar v k = A k .v o .
O problema prático de resolver o sistema v k+1 = Av k reduz-se
portanto ao cálculo das potências sucessivas A k do operador A. Em
geral, isto não é uma tarefa simples. Há, entretanto, casos particulares
em que ela é factível. Por exemplo, se existir uma base
U ⊂ E formada por autovetores de A (o que se dá quando dim E = n
e o polinômio característico de A tem n raízes reais distintas, ou
então quando A é auto-adjunto), o vetor inicial v o exprime-se como
combinação linear
v o = x 1 u 1 +···+x n u n