lgebra Linear, Elon Lages Lima

170 Operadores Auto-Adjuntos Seção 13
a restrição de A ao subespaço F é um operador diagonalizável em F.
(Sugestão: use o exercício anterior.)
13.17. Seja A: E → E um operador diagonalizável. Se o subespaço
F 1 ⊂ E é invariante por A, prove que existe um subespaço F 2 ⊂ E,
também invariante por A, tal que E = F 1 ⊕F 2 .
13.18. Se os operadores A,B: E → E são auto-adjuntos, prove que
AB+BA é auto-adjunto. Que se pode dizer sobre AB−BA ?
13.19. Se A: E → E é auto-adjunto, prove que, para todo B ∈ L(E), o
operadorB ∗ AB também é auto-adjunto. SeA ≥ 0, prove queB ∗ AB ≥
0. Se A > 0 e B é invertível, prove que B ∗ AB > 0.
13.20. Se dois operadores auto-adjuntos A,B: E → E comutam,
prove que o espaço E possui uma base ortonormal formada por autovetores
comuns a A e B. Prove também a recíproca.
13.21. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) O conjunto dos operadores positivos é um cone convexo no espaço
vetorial L(E).
( ) O conjunto dos operadores não-negativos é um subespaço vetorial
de L(E).
( ) Os elementos da diagonal de uma matriz positiva são números
positivos.
( ) SeAéauto-adjunto eBéinvertível entãoB −1 AB é auto-adjunto.
( ) Existe uma matriz positiva 2×2 com dois elementos negativos
e dois positivos.
( ) Se A: R n → R n é um operador invertível qualquer, alguma
base ortogonal de R n é transformada por A numa base ortogonal.
( ) Se o operador A é auto-adjunto então o traço de A é igual à
soma dos seus autovalores.
13.22. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, com produto
interno. Um subconjunto Σ ⊂ E chama-se um elipsóide quando