lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 167
Assim, os vetores Au 1 ,...,Au r são dois a dois ortogonais, e nãonulos
pois
|Au i | 2 = σ 2 i |u i| 2 ,
logo |Au i | = σ i . (Na realidade, a prova do Teorema 13.9 mostra que
N(A) = N(A ∗ A), portanto Au j = 0 se r+1 ≤ j ≤ n.) Podemos então
escrever, para i = 1,...,r, Au i = σ i v i , onde {v 1 ,...,v r } ⊂ F é um
conjunto ortonormal, de fato uma base ortonormal de Im(A), a qual
pode ser completada a uma base ortonormal {v 1 ,...,v m } ⊂ F, onde
{v r+1 ,...,v m } é uma base ortonormal de N(A ∗ ). Tem-se A ∗ v i = 0 se
i > r e, para i = 1,...,r:
A ∗ v i = 1 σ i
A ∗ Au i = 1 σ i
σ 2 i u i = σ i u i . □
Os números positivos σ 1 ,...,σ r chamam-se os valores singulares
da transformação linear A: E → F, de posto r.
No teorema acima, podemos observar que {v 1 ,...,v m } ⊂ F é uma
base ortonormal de autovetores para o operador AA ∗ : F → F, pois
(AA ∗ )v i = A(σ i u i ) = σ i Au i = σ 2 i v i.
Analogamente, {u 1 ,...,u n } ⊂ E é uma base ortonormal de autovetores
do operador A ∗ A: E → E.
Vemos ainda que {u 1 ,...,u r } é uma base ortonormal de Im(A ∗ ),
enquanto o conjunto ortonormal {v 1 ,...,v r } é uma base para Im(A).
Ao mesmo tempo, {u r+1 ,...,u n } ⊂ N(A) e {v r+1 ,...,v m } ⊂ N(A ∗ ) são
bases, desde que não sejam vazios.
Exercícios
Em todos os exercícios desta seção E é um espaço vetorial de dimensão
finita, munido de produto interno.
13.1. Prove que duas projeções P,Q: E → E são iguais se, e somente
se, têm os mesmos auto-vetores com os mesmos auto-valores. Conclua
que uma projeção P: E → E é auto-adjunta (portanto Im(P) =
N(P) ⊥ ) se, e somente se, é normal. (Veja Exerc. 12.7.)
13.2. Sejam A,B: E → E operadores auto-adjuntos tais que
〈Av,v〉 = 〈Bv,v〉 para todo v ∈ E. Prove que A = B.