lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Produto de
Transformações Lineares
O produto de transformações lineares, que introduziremos nesta
seção, é um exemplo concreto de estrutura algébrica que apresenta
variados e interessantes fenômenos, não encontrados nas operações
entre números ou entre vetores.
Dadas as transformações lineares A: E → F, B: F → G, onde o
domínio deBcoincide com o contra-domínio deA, define-se o produto
BA: E → G pondo, para cada v ∈ E, (BA)v = B(Av),
E
A
F
B
G
BA
Vê-se imediatamente que BA é uma transformação linear. Observe-se
também que BA nada mais é do que a composta B ◦ A das
funções B e A. Segue-se então dos princípios gerais que se C: G → H
é outra transformação linear, vale a
Associatividade: (CB)A = C(BA).
A linearidade tampouco é necessária para mostrar que, dadas
A: E → F e B,C: F → G, tem-se a
Distributividade à esquerda: (B +C)A = BA+CA, que decorre
simplesmente da definição de B+C.
Usando a linearidade de C: F → G, vê-se que, dadas A,B: E → F,
vale a