lgebra Linear, Elon Lages Lima

30 Bases Seção 3
Teorema 3.4. SejaEum espaço vetorial de dimensão finitan. Então:
(a) Todo conjunto X de geradores de E contém uma base.
(b) Todo conjunto L.I. {v 1 ,...,v m } ⊂ E está contido numa base.
(c) Todo subespaço vetorial F ⊂ E tem dimensão finita, a qual é
≤ n.
(d) Se a dimensão do subespaço F ⊂ E é igual a n, então F = E.
Demonstração: (a) Os conjuntos L.I. em E têm no máximo n
elementos. Seja Y = {v 1 ,...,v m } ⊂ X um subconjunto L.I. de X
com o número máximo possível de elementos. Se existisse algum
vetor v ∈ X que não fosse combinação linear de v 1 ,...,v m então o
conjunto {v 1 ,...,v m ,v} ⊂ X seria L.I. pelo Teorema 3.2, mas isto contradiria
a maximalidade de m. Logo devemos ter X ⊂ S(Y), donde
E = S(X) ⊂ S(Y) e daí S(Y) = E, ou seja Y é uma base de E, contida
em X, como se devia demonstrar.
(b)
Seja
Y = {v 1 ,...,v m ,v m+1 ,...,v k }
um conjunto L.I. com o número máximo possível de elementos contendo
os m vetores dados. (Pelo Teorema 3.3, tem-se k ≤ n.) Se
existisse em E algum vetor v que não fosse combinação linear dos
elementos de Y, então Y ∪{v} seria um conjunto L.I., de acordo com
o Teorema 3.2, em contradição com a maximalidade de k. Segue-se
que Y gera E, logo é uma base de E, contendo v 1 ,...,v m .
(c) Seja Y = {v 1 ,...,v m } ⊂ F um subconjunto de F que é L.I. e tem
o número máximo possível de elementos. Então Y gera F pois se
algum elemento v ∈ F não fosse combinação linear dos vetores de Y
então, pelo Teorema 3.2, {v 1 ,...,v m ,v} ⊂ F seria um conjunto L.I.,
contrariando a maximalidade de m. Portanto Y é uma base de F
e F tem dimensão finita. Além disso, tem-se dim F = m ≤ n pois
nenhum conjunto com mais de n elementos em E pode ser L.I. .
(d) Se dim F = dim E = n então toda base de F é um subconjunto
L.I. com n elementos em E, logo gera E, pelo Corolário 3. Segue-se
que F = E.